Title [tailieutoan.vn]_Toán thực tế 12_Chuyên đề 4_Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tiễn_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 4_ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Sơ đồ khảo sát hàm số Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số  Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).  Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số  Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).  Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản),...  Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có). 2. Dạng của đồ thị hàm số bậc ba   3 2 y ax bx cx d a      0 3. Dạng của đồ thị hàm số  0, 0 ax b y c ad bc cx d       4. Dạng của đồ thị hàm số   2 0, 0 ax bx c y a m mx n      
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Gia tốc a t( ) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y v t    của vật, với t 1;5 b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất? Lời giải Từ đồ thị của hàm a t t ( ), [1;5]  , ta có bảng biến thiên của hàm vận tốc v t( ) như sau: Từ bảng biến thiên, ta thấy vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại giây thứ ba ( 3) t  . Câu 2: Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 2 300cm , lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi x cm  là chiều rộng của tờ giấy. a) Tính diện tích của tờ giấy theo x
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là S x . Khảo sát sự biến thiên của hàm số y S x    c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất. Lời giải Gọi y( cm) là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có ( 4)( 6) 300 x y    . Suy ra 300 6 4 y x    . a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: (6 276) ( ) . 4 x x S x xy x     b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S x( ) : Tập xác định: (4; )  . Sự biến thiên: Ta có 1200 ( ) 6 300 4 S x x x     . - 2 2 0 6( 4) 1200 ( ) , ( ) 0 4 10 2 ( 4) x S x S x x x x           . - Hàm số đồng biến trên khoảng (4 10 2; )   , nghịch biên trên khoảng (4; 4 10 2 )  - Hàm số đạt cực tiểu tại x  4 10 2 . - Giới hạn vô cức: 4 lim ( ) x S x     , giới hạn tại vô cực: lim ( ) x S x    . - Bảng biến thiên: c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là: Chiều rộng x    4 10 2 18,14( cm) , Chiều dài 300 30 6 6 27, 21( cm) 4 2 y x       . Câu 3: Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi 2 C x x x ( ) 0, 2 10 5    (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là ( ) ( ) C x f x x  a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y f x    b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất? Lời giải
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số 2 ( ) 0, 2 10 5 ( ) C x x x y f x x x      . Tập xác định: [1; )  . Sự biến thiên: Ta có 5 f x x ( ) 0, 2 10 x    . - 2 2 0, 2 5 ( ) , ( ) 0 5 x f x f x x x        (do x 1 ). - Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (5; )  , nghịch biến trên khoàng (1;5) . - Hàm số f x( ) đạt cực tiều tại x  5 với 12 CT f  . - Giới hạn tại vô cực: lim ( ) x f x    . Bảng biến thiên: b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là x  5 để chi phí trung bình là thấp nhất: 12 CT f  (triệu đồng). Câu 4: Cho điểm A(3; 2) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhất, với O là gốc tọa độ. a) Biết hoành độ điểm B là x t  với t  3 . Tính diện tích tam giác OBC theo t . Kí hiệu diện tích này là S t( ) b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y S t  ( ) . c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.