Title HH7 - CĐ16.1. SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TUYEN BA DUONG PHAN GIAC.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Đường trung tuyến của một tam giác A B M C  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của ABC.  Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của ABC.  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. 2. Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. 3. Vị trí của trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy: 2 3 AG BG CG AD BE CF  PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác I. Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác. II. Bài toán. Bài 1. Chọn câu sai: A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến. B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm. C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó. D. Một tam giác có hai trọng tâm. Lời giải
2 Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai. Chọn đáp án D. Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy” A. 2 . 3 B. 3 . 2 C. 3. D. 2. Lời giải Chọn đáp án A. Theo tính chất trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Số cần điền là 2 . 3 Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ số BG BE ? Lời giải Ta có . AD BE CF , , . là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC . Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có . 2 3 BG BE  . 2 . 3   BG BE Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số AG GD ? Lời giải Ta có AD BE CF , , là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC . Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: G F E D B A C G F E D B A C
3 2 2 2 1 3 3 3 3 AG AG AD GD AD AG AD AD AD AD          2 3 2 1 3 AD AG GD AD      AG GD 2 . Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến AM  9cm và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ? Lời giải Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến, nên 2 3 AG AM  (Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác), do đó: 2 .9 6cm 3 AG   . Bài 6. Cho     ABC BC a CA b AB c , , , . Kẻ trung tuyến AM. Đặt . AM m  a Chứng minh rằng 2 2 a b c a b c m      Lời giải Với AMB ta có: AM MB AB   (1) Với AMC ta có: AM MC AC   (2) Cộng từng vế của 1 2  và   ta được: 2AM MB MC AB AC       Hay 2m a b c a    2 a b c a m     Chứng minh tương tự ta có 2 a b c m   G M B A C a b c ma M B C A
4 Khi đó ta có: 2 2 a b c a b c m      Bài 7. Cho ABC có hai đường trung tuyến BD CE , a) Tính các tỉ số , BG CG BD CE b) Chứng minh . 3 2 BD CE BC   . Lời giải Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD CE , là G . GBC có: GB GC BC   (bất đẳng thức tam giác). Mà 2 3 GB BD  , 2 3 GC  CE nên: 3 2 3 2 BD CE BC   . Do đó 3 2 BD CE BC   . Bài 8. Cho ABC có BC cm 8  , các đường trung tuyến BD CE , cắt nhau tại G . Chứng minh BD CE cm 12   . Lời giải GBC có: GB GC BC   (bất đẳng thức tam giác). Mà 2 3 GB BD  , 2 3 GC  CE nên: 3 2 3 2 BD CE BC   . Do đó 3 3 .8 12 2 2 BD CE BC     . G E D B C A G E D B C A