Title GHEP FULL CHUONG 2 - ALG.docx ✅

 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 1 ⬥CHƯƠNG 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ▶BÀI ❶. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ➊. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN   Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.  Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.  Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:  Vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là được kí hiệu là .  Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là  Độ dài của vectơ được kí hiệu là , độ dài của vectơ â được kí hiệu là |â|.  Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.  Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.            
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 2   Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:  Trong không gian, với mỗi điểm và vectơ ả cho trước, có duy nhất điểm sao cho .  Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như gọi là các vectơ -không.  Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 ,cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0.           ➋. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian  Trong không gian, cho hai vectơ và . Lấy một điểm bất kì và các điểm sao cho . Khi đó, vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu là .  Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành.  Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chát sau:  Tính chất giao hoán: Nếu và là hai vectơ bất kì thì .  Tính chất kết hợp: Nếu và là ba vectơ bât kì thì .  Tính chất cộng với vectơ : Nếu là một vectơ bất kì thì .  Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ và là mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.  b) Hiệu của hai vectơ trong không gian  Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ ả được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .          
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 3  Chú ý:  Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng .  Vectơ là một vectơ đối của vectơ . Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó.  Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:  Vectơ được gọi là hiệu của hai vectơ và và kí hiệu là . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.           ❸. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  Trong không gian, tích của một số thực với một vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:  Cùng hướng với vectơ a nếu ; ngược hướng với vectơ nếu ;  Có độ dài bằng .  Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.  Chú ý:  Quy ước nếu hoặc .  Nếu thì hoặc .  Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ và cùng phương là có một số thực sao cho .          
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 4  Chú ý: Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:  Tính chất kết hợp: Nếu là hai số thực và là một vectơ bất kì thì .  Tính chất phân phối: Nếu là hai số thực và là hai vectơ bất kì thì và .  Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu là một vectơ bất kì thì và .  Chú ý: Tương tự như trong mặt phẳng, nếu là trọng tâm của tam giác thì với điểm tuỳ ý, ta có           ❹. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Góc giữa hai vectơ trong không gian  Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy một điểm bất kì và gọi là hai điểm sao cho . Khi đó, góc được gọi là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là .