Title Giai tich ham mot bien.pdf ✅

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC: GIỚI HẠN, TÍNH LIÊN TỤC, VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Hà Văn Hiếu (SĐT/zalo: 0972236365, email: [email protected]) 1 Các hàm sơ cấp 1.1 Định nghĩa Hàm sơ cấp là các hàm số được tạo thành từ các phép toán đại số cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia), hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, và các hàm nghịch đảo của chúng thông qua phép hợp và phép lấy hàm ngược. 1.2 Các loại hàm sơ cấp • Hàm đa thức: f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 • Hàm phân thức: f(x) = P(x) Q(x) với P(x) và Q(x) là các đa thức và Q(x) ̸= 0. • Hàm mũ: f(x) = a x , a > 0, a ̸= 1 • Hàm logarit: f(x) = loga x, a > 0, a ̸= 1 • Hàm lượng giác: f(x) = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x • Hàm lượng giác ngược: f(x) = arcsin x, arccos x, arctan x, v.v. 1
1.3 Tính chất của hàm sơ cấp • Hàm sơ cấp có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các hàm sơ cấp khác. • Hàm sơ cấp thường có các tính chất về đạo hàm, tích phân, và giới hạn. • Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp của các hàm sơ cấp vẫn là hàm sơ cấp. 1.4 Ví dụ • Ví dụ 1: Hàm đa thức f(x) = 3x 2 − 5x + 7 • Ví dụ 2: Hàm phân thức f(x) = x 2 + 1 x − 3 • Ví dụ 3: Hàm mũ f(x) = 2x • Ví dụ 4: Hàm logarit f(x) = log2 (x + 1) • Ví dụ 5: Hàm lượng giác f(x) = sin x + cos x 2 Giới hạn Định nghĩa 2.1 (Giới hạn của hàm số) Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Giới hạn của hàm số khi x tiến tới x0 là L, ký hiệu là limx→x0 f(x) = L, nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε Hiểu một cách nôm na là: f(x) có thể gần về L bao nhiêu cũng được miễn là x đủ gần về x0. Ví dụ 2.2 • Nếu f(x) = C là một hằng số thì limx→x0 f(x) = C với mọi x0. • Nếu f(x) = x thì limx→x0 f(x) = x0 với mọi x0. • limx→0 sinx = 0. • limx→0 cos x = 1. Lưu ý 2.3 Tại điểm x = x0, hàm số có thể không xác định. Ví dụ như ta có x 2 − 4 x − 2 = (x − 2)(x + 2) x − 2 = x + 2 (x ̸= 2) nên limx→2 x 2 − 4 x − 2 = 4 2
Định nghĩa 2.4 (Giới hạn tại vô cực) Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới dương vô cùng, ký hiệu là limx→+∞ f(x) = L, nếu với bất kì ε > 0, tồn tại N > 0 sao cho khi x > N thì: |f(x) − L| < ε. Tương tự, hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới âm vô cùng, ký hiệu là limx→−∞ f(x) = L, nếu với bất kì ε > 0, tồn tại N < 0 sao cho khi x < N thì: |f(x) − L| < ε. Ví dụ 2.5 lim x→+∞ 1 x = 0 lim x→+∞ 1 + 1 x = 1 lim x→−∞ 1 + 1 x = 1 Định nghĩa 2.6 (Vô cùng bé và vô cùng lớn) • Khi f(x) → 0 (x → a), a có thể hữu hạn, có thể là vô cùng thì f(x) được gọi là một vô cùng bé trong quá trình x → a, ký hiệu: limx→a f(x) = +∞ • Khi x → a mà f(x) có trị tuyệt đối trở nên lớn hơn bất kì số dương nào cho trước thì ta nói rằng f(x) là một vô cùng lớn trong quá trình x → a; khi đó ta cũng viết limx→a f(x) = −∞ Ví dụ 2.7 (a) limx→0 1 x 2 = 0 (b) limx→0 − 1 x 2 = −∞. 2.1 Các tính chất của giới hạn Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn của f khi x tiến tới a, nếu có, là duy nhất. Tính bị chặn: Nếu có hai số A và B thoả mãn A < f(x) < B với mọi x trong lân cận nào đó của điểm a và nếu tồn tại limx→a f(x) = L thì L1 ≤ L ≤ L2. 3