Title +CP2 TD EXAMENS ANALYSE3 ENSA-TETOUAN.pdf ✅

http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : Mécanique & Thermodynamique & Electricité & Optique & Electrocinetique & Electronique MATH : Analyse & Algèbre & Probabilité & Statistique CHIMIE : ORGANIQUE &ATOMISTIQUE&CRISTALLOCHIMIE THERMODYNAMIQUE ET CINETIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25 ENSA-TETOUAN CP2 TDs ANALYSE 3 2020–2021
UAE. ENSA TETOUAN. 2AP2. ANALYSE 3. TD 1. TD 1 : TOPOLOGIE DE R n . Exercice 1. 1) Montrer que N∞(x) = kxk∞ = sup 1≤i≤n |xi | et N1(x) = kxk1 = Pn i=1 |xi | sont deux normes sur R n . 2) Montrer que pour tout x dans R n on a : N∞(x) ≤ N1(x) ≤ n N∞(x), N∞(x) ≤ N2(x) ≤ √ n N∞(x), 1 √ n N1(x) ≤ N2(x) ≤ √ n N1(x). Z Indication Exercice 2. Soient (E, d) un espace métrique et f une fonction numérique de R + dans R + telle que i) f(x) = 0 ⇔ x = 0. ii) f est croissante sur R +. iii) ∀(x, y) ∈ R + × R +, f(x + y) ≤ f(x) + f(y). 1) Montrer que (E, d0 = f(d)) est un espace métrique. 2) Application. Montrer que d1(x, y) = ln (1 + d(x, y)) et d2(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y) sont des distances sur E. Z Indication Exercice 3. 1) Quand dit-on que deux normes sur un espace vectoriel sont équivalentes ? 2) Soit f : R →I ⊂ R une bijection et δf : R × R → R (x, y) 7→ |f(x) − f(y)| . a) Montrer que δf est une distance sur R. b) Déterminer les fonctions f pour que δf soit induite d’une norme. Z Indication Exercice 4. Soit E =]0, +∞[. On définit sur E ×E à image dans R + l’application : d(x, y) = 1 x − 1 y avec x, y ∈ E . 1) Montrer que d est une distance sur E. 2) Déterminer B(1, 1) pour cette distance. 3) La partie A =]0, 1] est-elle bornée pour cette distance ? fermée ? 4) Déterminer les boules ouvertes pour cette distance. Z Indication Exercice 5. Soit E un ensemble muni de deux distances d1 et d2 équivalentes : ∃ (α, β) ∈ (R ∗+) 2 tel que ∀ (x, y) ∈ E2 , on a αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y) 1) On note Bi la boule ouverte pour la distance di. Montrer que B1 y, 1 β (r − d2 (x, y)) ⊂ B2 (x , r) où y ∈ B2 (x , r) et r > 0. 2020/21. S.A. PRS. B. AZEROUAL et M. CHERKAOUI. 1/ 2