Title Đề số 16.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 16 Bài 1: 1. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 202120212022202220232023.ababab Tính tổng 20242024Sab . 2. Cho phương trình 2(25)340xmxm (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên. Bài 2: 1. Giải hệ phương trình 22 2 22 ;(,) 3121 xyxyxxy xyR xyyxy      2. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: ()()() 0. ()()() abcbcacab cacababcb    Bài 3: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình: 22 322280.xyxyxy Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác trong AD (D thuộc cạnh BC) cắt đường tròn (O) tại E khác A. Đường tròn đường kính DE cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA. Vẽ các đường cao AK,CL của tam giác ABC, hai đường thẳng KL, MN cắt nhau tại T. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm K,T,C,N cùng thuộc một đường tròn và  TABMAC . 2. Ba điểm A, T, F thẳng hàng. Bài 5. (1,5 điểm) Người ta viết lên bảng dãy số 1111 ;;;...; 1232024 . Mỗi lần xóa đi hai số bất kì x,y trên bảng và viết thêm số x + y + xy. Sau một số lần thực hiện như vậy thì trên bảng còn lại một số. Tim số còn lại đó. ĐÁP SỐ
Bài 1: 1. Với a, b > 0 Đặt 202120212022202220232023axbabab . Ta có x > 0 Và 202220222021202130212021()ababababab ()xabxabx Do x > 0 nên a + b = 1 + ab 1 (1)(1)0 1 a ab b      Với a = 1 thay vào (I) thì 202120212022202220233021111bbb 202120222023 ˆ0 1 b bbbnen b      mà b > 0 nên b = 1. Tương tự với b = 1 thì a = 1. Tóm lại a = b = 1. Với a = b = 1 thì 2024202420242024112Sab 2. Trước hết 22Δ(25)4(34)4(1)50,.mmmm Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m Giả sử tồn tại m = a (a thuộc Z) sao cho phương trình có nghiệm x = b (b thuộc Z) Khi đó: 22(25)34025340babababba Mà b thuộc Z nên 2 54 23 bb a b    5 427 23ab b  Do a thuộc Z nên 4a thuộc Z Khi đó 23(5)bU 2b – 3 -5 -1 1 5 b -1 1 2 4 4a -8 0 -8 0 a -2 0 -2 0 Vậy các cặp số (a, b) cần tìm là (-2; -1), (0, 1), và (-2, 2), (0; 4) Tóm lại các số nguyên m cần tìm để phương trình có nghiệm nguyên là m = -2, m = 0.
Bài 2: 1. Với ,xyR hệ phương trình đã cho 2 2 2(1)0 3121 xxy xyyxy      2 10 3121 y xyyxy      (Do 2242(21)70;xxxx ) 1 () 3222 y I xx      Xét phương trình 2 1 3222 32484 x xx xxx     2 1 1 3 411602( thoa man ); (khong thoaman)  4 2 x x xxxx x        Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1) 2. Với a, b, c > 0 ta có ()()() 0 ()()() abcbcacab cacababcb    trở thành 222222222()()()0ababbcbcbccacacaab 33333324242432323222230(*)abbccaabbccaabcbcacababc Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 3333333333333323333(1)ababbcbaacbaacabc Chứng minh tương tự, ta có 333333333bcbccaabc (2) Và 333333323abcacaabc (3) Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có:  333333323232 333333323232 0() abbccaabcbcacab abbccaabcbcacabI   Mặt khác, ta cũng có:
242424242424222 242424222 242424222 33 3 30 (II)  abbccaabbccaabc abbccaabc abbccaabc    Cộng vế với vế của (I) với (II) ta được: 33333324242432323222230abbccaabbccaabcbcacababc Vậy (*) luôn đúng Dấu “=” xảy ra 333333 242424 abbcca abc abbcca     Bài 3: Với ,xyZ ta có 22322280xyxyxy 22 22 4()2()19 4(1)9 (1)(31)9() xxyxy xxy xyxyt     Xét các trường hợp: 1) 192 3116 xyx xyy     2) 192 3118 xyx xyy     3) 130 3132 xyx xyy     4) 130 3134 xyx xyy     5) 112 3194 xyx xyy     6) 112 3192 xyx xyy     Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: (2;6),(2;8),(0;2),(0;4),(2;4),(2;2)}{ Bài 4: