Title 023_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Hà Nam_25-26 (1).pdf ✅

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ Câu I. (2,0 điểm) 1. Xét các số thực dương a, b thoả mãn 3a 2 + 5ab − 2b 2 = 0. Tính giá trị của P = 3a−2b 2a+b 2. Cho đa thức Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, với a, b, c là các số nguyên. Biết Q(x) có một nghiêm là x0 = √3 và Q(1) = 4, tính giá trị Q(−2) Câu II (2,0 điểm) 1. Một công ty X áp dụng chính sách trả lương cho nhân viên theo hai mức: ngày làm việc bình thường và ngày làm việc đặc biệt (làm vào ngày được nghỉ), biết rằng tiền lương của một ngày làm việc đặc biệt nhiều hơn tiền lương của một ngày làm việc bình thường là 225 nghìn đồng. Trong một tháng, anh Bình là nhân viên của công ty X làm việc 24 ngày, trong đó có một số ngày làm việc đặc biệt. Bình nhận được 9 triệu đồng cho những ngày làm việc bình thường và 2,7 triệu đồng cho những ngày làm việc đặc biệt. Hỏi anh Bình được nhận bao nhiêu nghìn đồng cho mỗi ngày làm việc đặc biệt? 2. Giải phương trình (√2x + 5 − 2)(11 − √5 − 2x) = 4x + 2. Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = −1 2 x 2 . Xét hai điểm A, B thay đổi thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x1 , x2 sao cho x1x2 = −4. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB. Câu IV ( 1, 0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thoả mãn (x 2 − x + 1)(y 2 − xy − 5) = 2x + 5 Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Xét dây cung CD không đi qua O, không vuông góc với AB và CD cắt AB tại I. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AC và AD. 1. Chứng minh hai tam giác IHK và BCD đồng dạng 2. Chứng minh S△ACD > 4S△HIK 3. Tiếp tuyến tại điểm A của (O) cắt CD tại T. Hai đường thẳng BC và BD cắt tia TO lần lượt tại E và F, AF cắt (O) tại P, AE cắt (O) tại Q. Chứng minh tứ giác CDPQ là hình chữ nhật. Câu VI (1,0 điểm) Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} 1. Bạn Hà chọn ngẫu nhiên một số a thuộc S và nhỏ hơn 8 , bạn Nam chọn ngẫu nhiên một số b thuộc S và lớn hơn 7 . Sau đó các bạn Hà, Nam ghép hai số đã chọn thành số ab. Tính xác suất ab chia hết cho 3 . 2. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho với mọi cách lấy k số thuộc S luôn tồn tại hai số x, y với x > y trong k số đã lấy sao cho x + y chia hết cho x − y.
2 Lời giải Bài toán 1 Câu I. (2,0 điểm) 1. Xét các số thực dương a, b thoả mãn 3a 2 + 5ab − 2b 2 = 0. Tính giá trị của P = 3a−2b 2a+b . 2. Cho đa thức Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, với a, b, c là các số nguyên. Biết Q(x) có một nghiệm là x0 = √3 và Q(1) = 4, tính giá trị Q(−2). Lời giải. 1. 3a 2 + 5ab − 2b 2 = 0 3a 2 + 6ab − ab − 2b 2 = 0 3a(a + 2b) − b(a + 2b) = 0 (3a − b)(a + 2b) = 0 3a = b hoặc a + 2b = 0 (vô lý do a, b đều dương - giả thiết) Thay b = 3a vào P có: P = 3a−2⋅3a 2a+3a = −3a 5a = −3 5 Vậy P = −3 5 2. Thay x = √3 vào Q(x) có: 0 = Q(√3) = (√3) 3 + a(√3) 2 + b ⋅ √3 + c 0 = 3√3 + 3a + b√3 + c 0 = √3(3 + b) + 3a + c −(3a + c) = √3(3 + b) Xét b + 3 ≠ 0 ⟹ √3 = −(3a+c) 3+b , mà a, b, c ∈ Z ⟹ −(3a+c) 3+b ∈ Q, kết hợp √3 ∈ I nên giả thiết trên vô lý ⟹ 3 + b = 0 ⟹ b = −3 ⟹ 3a + c = 0 ⟹ c = −3a ⟹ Q(x) = x 3 + ax 2 − 3x − 3a Do Q(1) = 4 nên thay x = 1 có: 4 = 1 3 + a. 1 2 − 3.1 − 3a 4 = −2 − 2a 6 = −2a ⟹ a = −3 ⟹ c = −3(−3) = 9 ⟹ Q(x) = x 3 − 3x 2 − 3x + 9 Thay x = −2 có: Q(−2) = (−2) 3 − 3(−2) 2 − 3(−2) + 9 = −8 − 3.4 + 6 + 9 = −5 Vậy Q(−2) = −5 Bài toán 2

( ) 1 / 2 11 5 2 2 2 5 2 x t m x x − = − − = + + Xét 11−√5−2x √2x+5+2 = 2 11 5 2 2 2 5 2 ( ) 2 2 5 5 2 7 x x x x − − = + + + + − = Đặt 2 5 , 5 2 , 0 x a x b a b + = − =  ( ) ⟹ a 2 + b 2 = 10 Kết hợp với 2 7 b 7 2a a b + =  = − 2 2  + − = a a (7 2 ) 10 2 5 28 39 0 a a − + = ( ) ( ) 3 / 13 / 5 a t m a t m  =   =  2 5 3 13 2 5 5 x x  + =   + =  ( ) ( ) 2 / 22 / 25 x t m x t m  =   =  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1 22 ; ;2 2 25 S   − =     Bài toán 3 Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P) có phương trình 1 2 2 y x − = . Xét hai điểm AB, thay đổi thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1 2 x x, sao cho 1 2 x x = −4 . Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB. Lời giải. Do 1 2 x x = −4 và − 4 0 nên 1 x và 2 x trái dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử 1 2 x x  0 . Suy ra A nằm bên trái trục tung; B nằm bên phải trục tung. (hoành độ A âm, hoành độ B dương) Hạ AA BB   , vuông góc với Ox tại A B  ,