Title Chương 9_Bài 30_Đa giác đều_Đề bài_Toán 9_KNTT.pdf ✅

BÀI 30. ĐA GIÁC ĐỀU A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đa giác đều - Những hình như Hình 9.38 được gọi chung là các đa giác. - Đa giác ABCDE (H.9.38a) là hình gồm năm đoạn thẳng AB BC CD DE EA , , , , , trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A B C D E , , , , ; năm cạnh là các đoạn thẳng AB BC CD DE EA , , , , và năm góc là các góc EAB ABC , , BCD CDE DEA , , . - Nếu với một cạnh bất kì của đa giác, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình 9.38 a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình 9.38c không phải đa giác lồi. Định nghĩa: Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó. Ví dụ 1. a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41). b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiểu hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ đẹp vì sự cân đối hài hoà mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng (H.9.42). Ví dụ 2. Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều?
Lời giải Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình d có dạng đa giác đều. Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh 6 cm. Trên cạnh AB lấy các điểm M N, ; trên cạnh BC lấy các điểm P Q, ; trên cạnh CA lấy các điểm E F, , sao cho các đoạn thẳng AM MN NB BP PQ QC CE EF FA , , , , , , , , đều bằng 2 cm như Hình 9.43. Hỏi MNPQEF có là một lục giác đều hay không? Lời giải Theo Hình 9.43 , ta thấy MNPQEF là một đa giác lồi. Ta có 1 3 AM AF AB AC = = . Theo định lí Thalès đảo cho tam giác ABC và đường thẳng MF thì MF BC / / . Suy ra 1 3 MF AM BC AB = = . Do đó 2 cm 3 BC MF = = . Tương tự, NP QE = = 2 cm. Vậy lục giác MNPQEF có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt khác, tam giác AMF là tam giác đều vì AM MF FA = = = 2 cm nên FMA 60  = và FMN FMA 180 120 .   = − = Tương tự các góc tại các đỉnh N P Q E F , , , , của lục giác MNPQEF đều bằng nhau và bằng 120 . Vậy lục giác MNPQEF có các cạnh và các góc bằng nhau. Do đó MNPQEF là lục giác đều. 2. Phép quay Phép quay thuận chiều   (0 360 )       tâm O giữ nguyên điểm O , biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn ( , ) O OA sao cho tia OA quay thuận chiều quay của kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo   (H.9.48a). Định nghĩa tưởng tự cho phép quay ngược chiều   tâm O (H.9.48b). Phép quay 0  và phép quay 360 giữ nguyên mọi điểm.
Ví dụ 4. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( ) O như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt 120 ,240 ,360    với tâm O sẽ biến các đỉnh A B C , , thành những điểm nào. Lời giải Các phép quay ngược chiều lần lượt 120 ,240   , 360 với tâm O biến các điểm A B C , , thành những điểm tương ứng được cho bởi bảng sau: Đỉnh Phép quay ngược chiều A B C 120 B C A 240 C A B 360 A B C Khái niệm: Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều nếu phép quay đó biến mỗi điểm của thành một điểm của H. Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều thành các đỉnh của thì phép quay đó giữ nguyên . B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Nhận dạng đa giác đều Ví dụ 1. Tìm các đa giác lồi trong hình vẽ và giải thích. Ví dụ 2. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều? Lời giải Hình phẳng có dạng đa giác đều là hình b và d. Ví dụ 3. Tìm và gọi tên các đa giác đều có trong hình vẽ dưới đây. Ví dụ 4. Kể tên các loại đa giác đều có trong hình. Ví dụ 5. Cho đường tròn (O R; ) . Lấy các điểm A B C D E F , , , , , trên đường tròn (O R; ) sao cho số đo các cung AB BC CD DE EF FA , , , , , bằng nhau. Đa giác ABCDEF có là đa giác đều không? Ví dụ 6. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và A B C === 108 . Ngũ giác ABCDE có phải là ngũ giác đều không? Hướng dẫn: Để chứng minh ngũ giác ABCDE đều ta phải chứng minh: * Các cạnh bằng nhau (giả thiết đã cho).
* Các góc bằng nhau: D E 108 = = . Dạng 2. Tính toán Ví dụ 1. Cho ngũ giác đều ABCDE như hình vẽ. a) Tính tổng các góc trong của tam giác ABC ACD ADE , , , từ đó suy ra tổng các góc trong ngũ giác đều ABCED. b) Tính số đo góc E . Ví dụ 2. Cho hình tròn (O R; ) . a) Vẽ hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều có các đỉnh nằm trên (O R; ) . b) Tính các cạnh của các hình vừa vẽ theo R . Dạng 3. Phép quay Ví dụ 1. Cho lục giác đều ABCDEF . a) Tính số đo các góc BCF BDF BEF , , . b) Gọi O là tâm của lục giác đều. Hãy chỉ ra ba phép quay tâm O giữ nguyên tam giác ACE . Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) . Hãy chỉ ra các phép quay biến tam giác thành chính nó. Hướng dẫn: Tương tự câu b, bài toán 9 , có tất cả 6 phép quay đó là phép quay 120 ,240   , 360 tâm O thuận chiều và ngược chiều. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC đều như hình vẽ.