Title Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP.doc ✅

CHƯƠNG Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. • Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. 3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hai đường tròn 1O và 2O cắt nhau tại M và P. Vẽ dây MA của đường tròn 2O là tiếp tuyến của đường tròn 1O . Vẽ dây MB của đường tròn 1O là tiếp tuyến của đường tròn 2O . Trên tia đối của tia PM lấy điểm H sao cho PHPM . Chứng minh rằng tứ giác MAHP nội tiếp. Giải Tìm cách giải. - Khai thác giả thiết, ta có PHPM . Do vậy nếu I, K là trung điểm MB, MA mà MIPK là tứ giác nội tiếp thì MAHB cũng là tứ giác nội tiếp. - Ta biết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực của các cạnh và đường chéo. Dễ nhận biết đường trung trực của MB đi qua 1O , đường trung trực của MA đi qua 2O . Nếu giao điểm của hai đường trung trực này nằm trên đường trung trực của MH thì bài toán xong. Với hai định hướng trên ta có hai cách giải sau:  Trình bày lời giải Cách 1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MA. Ta có: BMPMAP ; AMPMBP suy ra MBPAMP∽ (g.g) BPMBBPBI MPAMMPMK BPIMPK∽ (c.g.c)  BPIMPK Xét IMKIPKIMPPMKIPMMPK  180IMPMBPIPMBPI Suy ra tứ giác MIPK nội tiếp, mà IP, KP lần lượt là đường trung bình của tam giác MBH, MAH //IPBH , //KPAH  180KPIAHBAMBAHB  Tứ giác MAHP nội tiếp Cách 2. Dựng hình bình hành 12OMOO Suy ra 12//OOMO , 21//OOOM Mà 2MBMO , 1MAMO nên: 1OOMB , 2OOMA . Do đó OMOB ; OMOA 1 Gọi giao điểm 12OO với MO; MP là I, K Ta có 12OOMP và IMIO ; KMKP
Do đó IK là đường trung bình của tam giác MOP Suy ra //IKOPOPMH mà MPPH  OP là đường trung trực của  MHOMOH 2 Từ 1 và 2 OMOAOHOB  Tứ giác MAHB nội tiếp. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B). Gọi O; 1O ; 2O lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMC và BMC. 1) Chứng minh bốn điểm C, 1O , M, 2O cùng nằm trên một đường tròn T . 2) Chứng minh rằng đường tròn T đi qua O. 3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn T có bán kính nhỏ nhất. (Tuyển sinh 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009) Giải Tìm cách giải. 1O , 2O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp nên  1COM ;  2COM lần lượt hai góc ở tâm của hai đường tròn tròn tương ứng. Phân tích đi lên ta có bốn điểm C, 1O , M, 2O cùng nằm trên một đường tròn  12180COMCOM 90CAMCBM từ đó ta tìm được cách giải. • Để chứng minh đường tròn T đi qua điểm O, ta cần chứng minh tứ giác 2COOM nội tiếp hoặc tứ giác 1COMO nội tiếp. Cả hai hướng trên đều cho lời giải đúng. Trình bày lời giải 1) Sử dụng tính chất góc ở tâm đường tròn, ta có:  12.COMCAM ;  22.COMCBM . Do tam giác ABC vuông nên:  90CAMCBM . Suy ra  12180COMCOM . Vậy bốn điểm C, 1O , M, 2O cùng thuộc một đường tròn 2) Do tam giác ABC vuông tại C nên O là trung điểm của AB, Giả sử M thuộc đoạn OA. Do tam giác COB cân tại O nên  22..COMCBOCOM Vậy O thuộc đường tròn T 3) Gọi R là bán kính của đường tròn T . Do T đi qua C và O nên 2COR hay 1 2RCO Dấu bằng đạt được khi M là hình chiếu của C trên AB. Vậy bán kính của đường tròn (T) nhỏ nhất bằng 1 2CO khi M là hình chiếu của C trên AB. Ví dụ 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn O , tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Giải Tìm cách giải. Dựa vào hình vẽ ta có một số định hướng sau:
• Nếu gọi M là tiếp điểm của đường tròn O với EK, dễ thấy BOMK là tứ giác nội tiếp. Nên muốn chứng minh D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn, ta chỉ cần chứng minh D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn. • Quan sát kỹ, ta có  2 K BKO . Vậy ta chỉ cần chứng minh  2 K BDO . • Cũng dễ nhận thấy  180 2 A DBKABC  . Do đó ta cũng cần chứng minh  180 2 A DOK  . Trình bày lời giải Cách 1. Gọi M là tiếp điểm của đường tròn O với EK. Ta có EM, EC là tiếp tuyến của O nên: 1 2MOECOEMOC Vì 1 2MBCMOCMOEMBC . Mặt khác 180MOEMOD Và 180MBCMBD Suy ra MODMBD Vậy D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn. Mà 90KMOKBO nên tứ giác KMOB nội tiếp. Vậy năm điểm D, K, O, M, B cùng thuộc một đường tròn Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. Cách 2. Ta có  18018090 22 AE CDEDCEDEC  90 22 AEK CDE  Mà   2 K BKOBKOBDO . Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. Cách 3. Tam giác OEK có  2 KE DOKOKEOEK  (tính chất góc ngoài tam giác).  Suy ra  180 2 A DOK  Mặt khác, ta có:  180 2 A DBKABC  Do đó: DBKDOK Vậy D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm O đường kính 2ABR và C là điểm chính giữa cung AB. Lấy điểm M tùy ý trên cung BC (M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM; K là giao điểm các đường thẳng BM và HI. a) Chứng minh rằng A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn; b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho 10 2 R AK (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2008 - 2009) Giải