Title 28. ( CHUYÊN ) LONG AN.Image.Marked.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023-2024 LONG AN Môn thi: TOÁN (CHUYÊN) Ngày thi: 08/6/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 1 1 1 1 4 4 a a a T a a a æ öæ ö ç + - ÷ç ÷ = ç - ÷ç - ÷ è - + øè ø với a>0, a 1 1. a) Rút gọn biểu thức T . b) Tìm tất cả các giá trị của a để T = - a -1. Câu 2 (2,0 điểm) a) Nhân dịp kỉ niệm 10 năm thành lập, cửa hàng GNH có thực hiện chương trình giảm giá cho mặt hàng X là 20% và mặt hàng Y là 15% so với giá niêm yết. Bà Giới mua 2 món hàng X và 1 món hàng Y phải trả số tiền là 395000 đồng. Ngày cuối cùng của chương trình, cửa hàng thay đổi bằng cách giảm giá mặt hàng X là 30% và mặt hàng Y là 25%. Vào ngày hôm đó, cô Định mua 3 món hàng X và 2 món hàng Y thì trả số tiền là 603000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi món hàng X và Y (giá niêm yết là giá ghi trên món hàng nhưng chưa thực hiện giảm giá). b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 2 x - 2m -1 x + m - 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ,x thoả mãn điều kiện 1 2 4x + 3x = 1. Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình ( ) 2 2 x - 5x + 2 + 3 -2x x + x + 2 = 0. Câu 4 (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Au, Bv với nửa đường tròn. Qua một điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Au và Bv theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn và CBO =CNO. b) Kẻ CH vuông góc với AB tại H, gọi K là giao điểm của CH với AN. Chứng minh ba điểm M ,K,B thẳng hàng. c) Gọi S là diện tích của tam giác ABC, 1 S là diện tích của tam giác MON. Hãy tính tỉ số 1 S S khi AM = 1,5R. Câu 5 (1,0 điểm) Ông Tuệ khóa két sắt bằng mật mã có 4 chữ số. Ông chỉ nhớ rằng trong 4 chữ số đó không có chữ số 0 và tổng của chúng bằng 9. Hỏi ông Tuệ phải thử tối đa bao nhiêu lần mật mã khác nhau để chắc chắn mở được két sắt đó? Câu 6 (1,0 điểm) Cho a 3 0,b 3 0 thỏa mãn 2a  3b  6 và 2a  b  4. Chứng minh rằng: 22 2 a 2a b 0. 9      Câu 7 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm trên cạnh BC, I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và tam giác ACM. Xác định vị trí của M để diện tích tam giácAIK nhỏ nhất. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Nội dung Điểm Cho biểu thức 2 1 1 1 1 1 4 4 a a a T a a a æ öæ ö ç + - ÷ç ÷ = ç - ÷ç - ÷ è - + øè ø với a>0, a 1 1. Rút gọn biểu thức T. ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 a a a T a a a æ ö ç ÷ ç + - - æ ö ç ÷ = ç ÷ç - ÷ ç - + ÷è ø è ø 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 4 a a a a a a æ ö ç + - - ÷ ÷æ - ö ç ÷ = ç ç - + ÷è ø è ø 0,25 ( ) ( ) 2 2 4 1 . 1 4 a a a a- = - 0,25 1a (1,0điểm) 1 . 4 a a- = 0,25 Tìm tất cả các giá trị của a để T = - a -1. 1 1 5 4 1 0 4 a a a a a- = - - Û + - = 0,25 1b (0,5điểm) a = -1 hoặc 1 5 a = . Kết luận 1 . 25 a  0,25 Nhân dịp kỉ niệm 10 năm thành lập, cửa hàng GNH có thực hiện chương trình giảm giá cho mặt hàng X là 20% và mặt hàng Y là 15% so với giá niêm yết. Bà Giới mua 2 món hàng X và 1 món hàng Y phải trả số tiền là 395000 đồng. Ngày cuối cùng của chương trình, cửa hàng thay đổi bằng cách giảm giá mặt hàng X là 30% và mặt hàng Y là 25%. Vào ngày hôm đó, cô Định mua 3 món hàng X và 2 món hàng Y thì trả số tiền là 603000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi món hàng X và Y (giá niêm yết là giá ghi trên món hàng nhưng chưa thực hiện giảm giá). Gọi giá niêm yết của mặt hàng X và Y lần lượt là x,y (đồng) 0,25 Lập được hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 20% 1 15% 395000 3 1 30% 2 1 25% 603000 x y x y ìï - + - = í ï - + - = î 0,25 Giải được 130000 220000 x y ìï = í ï = î 0,25 2a (1,0điểm) Kết luận đúng. 0,25 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 2 x - 2m -1 x + m - 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ,x thoả mãn điều kiện 1 2 4x + 3x = 1. 2b (1,0điểm) Ta có D = -4m + 29 0,25
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 29 0 4 D > Û m < Theo hệ thức Vi-ét ta có : 1 2 x + x = 2m -1; x x m 2 1 2 . = - 7 0,25 Ta có : 1 2 1 1 2 2 2 1 4 6 4 3 1 8 5 x x m x m x x x m ìï ï + = - ìï ï = - í Þ í ï + = ï = - ïî ïî 0,25 2 1 2 1 . 7 13 49 m x x m m é = ê = - Û = ë (nhận). 0,25 Giải phương trình ( ) 2 2 x - 5x + 2 + 3 -2x x + x + 2 = 0. ( )( ) 2 2 Û x + x + 2 -2x x + x + 2 + 3 = 0 0,25 2 Û x + x + 2 -2x = 0 (vì 2 x + x + 2 + 3 > 0 "x ) 0,25 2 2 3 2 0 1, 3 Þ x -x - = Þ x = x = - 0,25 3 (1,0điểm) Thử lại và kết luận nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. 0,25 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Au, Bv với nửa đường tròn. Qua một điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Au và Bv theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn và CBO =CNO. b) Kẻ CH vuông góc với AB tại H, gọi K là giao điểm của CH với AN. Chứng minh ba điểm M ,K,B thẳng hàng. c) Gọi S là diện tích của tam giác ABC, 1 S là diện tích của tam giác MON. Hãy tính tỉ số 1 S S khi AM = 1,5R. Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn và CBO =CNO . Tứ giác AMCO có :  o MAO = 90 ;  o MCO = 90 0,25   o MAO + MCO = 180 Vậy tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn. 0,25 Tương tự ta có tứ giác COBN nội tiếp 0,25 4a (1,0điểm) ÞCBO =CNO 0,25 Chứng minh ba điểm M ,K,B thẳng hàng. Ta có: CK / /AM nên KN CN KA CM  0,25 Mà MC  MA, NC  NB nên 1 KN NB KA MA  0,25 4b (1,0điểm) Ta lại cóMAK = ANB (so le trong) (2) Từ (1) và (2) ta được DAKM ഗDNKB 0,25
Þ AKM = NKB Mà A,K, N thẳng hàng nên M ,K, B thẳng hàng (đpcm). 0,25 Gọi S là diện tích của tam giác ABC, 1 S là diện tích của tam giác MON. Hãy tính tỉ số 1 S S khi AM = 1,5R. Ta có DMON ഗDACB nên tam giác MON vuông tại O, cho ta: 2 2 . 3 OC  CM CN  CN  R ; 13 6 MN  MC CN  R 0,25 4c (0,5điểm) 2 1 169 . 144 S MN S AB æ ö ç ÷ = = è ø 0,25 Ông Tuệ khóa két sắt bằng mật mã có 4 chữ số. Ông chỉ nhớ rằng trong 4 chữ số đó không có chữ số 0 và tổng của chúng bằng 9. Hỏi ông Tuệ phải thử tối đa bao nhiêu lần mật mã khác nhau để chắc chắn mở được két sắt đó? Chia được thành các tổ hợp số: 1;1;1;6, 2;2;2;3, 1;1;2;5,1;1;3;4,2;2;1;4,3;3;1;2 0,25 Có 4 cách để thử mỗi tổ hợp số 1;1;1;6, 2;2;2;3 0,25 Có 12 cách để thử mỗi tổ hợp số 1;1;2;5,1;1;3;4,2;2;1;4,3;3;1;2 0,25 5 (1,0điểm) Vậy ông Tuệ phải thực hiện tối đa 2.4  4.12  56 lần 0,25 Cho a 3 0,b 3 0 thỏa mãn 2a  3b  6 và 2a  b  4. Chứng minh rằng: 22 2 a 2a b 0. 9      2 2 3 6 2 3 a  b   b  a  0,25   2 2 2 2 2 22 22 a 2a b a 2a a 2 a 1 3 3 9 9                  0,25 2 2a  b  4  2a  ab  4a 0,25 6 (1,0điểm)   2 2 0 2 2 ab  a  a  b    b  Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,25 7 (1,0điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm trên cạnh BC, I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và tam giác ACM. Xác định vị trí của M để diện tích tam giácAIK nhỏ nhất.