Title 3. PHƯƠNG TRÌNH.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. (Trường chuyên tỉnh An Giang năm 2023-2024) Phương trình 2 x  ax  b  0 (với a; b là các số nguyên) có một nghiệm là 5  21 . Tính nghiệm còn lại. Lời giải Gọi 1 2 x ; x là hai nghiệm của phương trình 2 x  ax  b  0 (1). Không mất tính tổng quát, giả sử 1 x  5  21 và 2 x là nghiệm còn lại. Thay 1 x  x  5  21 vào (1) ta được:     2 5  21  a 5  21  b  0  46 10 21  5a  21a  b  0  a 10 21  5a  b  46  0 Vì a; b là các số nguyên nên ta có hệ: 10 0 10 10 5 46 0 46 5 4                          a a a a b b a b Suy ra phương trình (1) là 2 x 10x  4  0. Theo hệ thức Vi-ét, ta được: 1 2   2 2 x  x  10  5  21  x  10  x  5  21 . Vậy nghiệm còn lại là x  5  21 . Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm 2023-2024) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: 4 1 4 b c a  . Chứng minh rằng phương trình 2 ax  bx  c  0 có ít nhất một nghiệm âm Lời Giải Từ giả thiết ta có: a  0 và   4 16 2 2 0 ( 4 16 ) 0 ( 2 ) 4 4 0 a b c a a b c a b b ac a               do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 2 x , x mà 1 2 b x x a    và 1 2 . c x x a  . Đến đây thay vào giả thiết ta thu được:  1 2  1 2  1  2  1 4 4 1 4 1 0 4  x  x  x x   x  x   . Nếu 1 2 x , x đều không âm thì dẫn đến điều vô lý. Do vậy phương trình phải có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình   2 2 x  2 3m 1 x  m  m  4  0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn  x1  x2  x1x2    x1  x2  x1x2  2008 Lời Giải Phương trình     2 2 x  2 3m 1 x  m  m  4  0 1 có hai điểm phân biệt  '  0     2 2  3m 1  m  m  4  0 2  8m  5m  5  0 2 5 132 8 m 0; m 16 32             R Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x Theo Vi-ét ta có : 1 2   2 1 2 x x 2 3m 1 x x m 4         m  Đặt A= 1 2 1 2 1 2 1 2 x  x  x x ;B  x  x  x x Ta có A.B =   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 x 3x x x x x x 0, x x 2 4              Suy ra A và B luôn cùng dấu  A  B  A  B Do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 x  x  x x  x  x  x x  2008 1 2 1 2 1 2 1 2  x  x  x x  x  x  x x  2008 1 2  x  x  1004  2 3m 1  1004 503 m 3m 1 502 3 m 167           Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) Giải phương trình 4 x  3  x 1  x  7. Lời Giải Điều kiện x 1. Ta có (1) x  3  4 x  3  4  x 1  0   2  x  3  2  x 1  0 x 3 2 x 1 0          x  1. Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương năm 2023-2024) Cho phương trình 2 x  2mx 1 2m  0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm 1 2 x , x với mọi giá trị của m. b) Tìm m để biểu thức  1 2  2 1 2 2023 2 1 2 1 2 x x P x mx m      đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương năm 2023-2024) Giải phương trình: 2 4x  5  3x 1 13x với x R
Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái năm 2023-2024) Giải phương trình 2 x  x  2  2 x 1 . Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2023-2024) Giải phương trình: 2 2x  3 4x  9x  2  2 x  2  4x 1 Lời Giải ĐK: 1 x 4   . Ta có 2  2x  3 (x  2)(4x 1)  2 x  2  4x 1. Đặt t  2 x  2  4x 1 (với t  7 ) thì 2 t  8x  4 (x  2)(4x 1)  9 hay: 2 t 9 2x (x 2)(4x 1) 4     . Phương trình (2) trở thành 2 t 9 3 t 4   2  t  4t  3  0  t 1 hoặc t  3 . Kết hợp với điều kiện t  7 ta lấy t  3 Với t = 3 thì 2 x  2  4x 1  3  2x  (x  2)(4x 1)  0 2 x 0 2 (x 2)(4x 1) 2x x (x 2)(4x 1) 4x 9                 Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất 2 x 9   Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) Giải phương trình   2 x  6  x  2 1 x  4x 12 =8 Lời Giải Điều kiện xác định 2 6 0 2 0 4 120 0             x x x x  x  2 Phương trình ban đầu tương đương       2 x  6  x  2 x  6  x  2 1 x  4x 12  8 x  6  x  2   2  8 1 x  4x 12 =8 x  6  x  2  2  1 x  4x 12 = x  6  x  2   2 2  1 x  4x 12 =  2 x  6  x  2 2 2  1 x  4x 1 2 x  4x 12 = 2 x  6  x  2  2 x  4x 12 2  x  2x 15  0
    3 5        x x loai tm Bình luận – Áp dụng các kĩ thuật thường gặp đối với bài toán phường trình vô tỉ, ta có các cách đánh giá hết sức tự nhiên để dẫn đến lời giải của bài toán: i) Ta thấy nếu nhân lương liên hợp thì có  x  6  x  2  x  6  x  2   x  6  x  2  8 nên ta mới đi nhân hai vế cho lượng x  6  x  2 để triệt tiêu 8 ở hai vế của phương trình. ii) Để ý rằng  x  6 x  2= 2 x  4x 12 nên khi bình phương hai vế sẽ triệt tiêu được lượng 2 2 x  4x 12 để đưa về 1 phương trình đơn giản hơn. Đây là 1 phương trình vô tỉ không quá khó trong việc phân tích, đánh giá, tuy nhiên cần lưu ý về việc loại và nhận nghiệm dựa vào điều kiện xác định. Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Bình Định năm 2023-2024) Giải phương trình: 2 4x 1  2 4x 1  16x 1  2,(x) . Lời Giải Điều kiện 1 4 x  Ta có 2 4x 1  2 4x 1  16x 1  2  ( 4x 1  2)  4x 1( 4x 1  2)  0  ( 4x 1  2)( 4x 1 1)  0 (1) Với 1 4 x  thì 4x 1 1  0 ; do đó 5 (1) 4 1 2 4  x    x  (nhận). Vậy 5 4 x   Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) a) Cho phương trình 2 5x  mx  28  0, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 x , x phân biệt thỏa mã 1 2 5x  2x 1 b) Giải phương trình:    2 x  4 x  2  2 x  2x  5 . Lời Giải a) Ta có 2   m  560  0 nên phương trình 1 luôn có hai nghiệm 1 2 x , x phân biệt. Theo định lí Vi-ét ta có:     1 2 1 2 1 5 28 2 5 m x x x x           