Title Chủ đề 5 - ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.doc ✅

Trang 1/37 Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề 5. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau: “Nếu nhốt vào n chiếc lồng một số chú thỏ mà số lượng lớn hơn n thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong đó có nhiều hơn một con thỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp chứng minh bằng phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng phản chứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,... Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá thú vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet. Với phương pháp này, giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo. Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu. Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi abck thì ta có thể giả sử 2 số ;akbk cùng dấu, khi đó thì ()()0akbk . Chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong việc giải bất đẳng thức như thế nào? Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 222a2b2c29abbcca Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại abc1 . Theo một đánh giá quen thuộc ta có 29abbcca3abc . Như vậy ta cần chứng minh 2222a2b2c23abc Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Như vậy ta cần đánh giá từ 2abc làm xuất hiện 2a2 , để ý ta thấy 2222222abca111bca21bc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được   222222 2222 3a21bca2b2c2 31bcb2c2   Biến đổi tương đương ta thu được
Trang 2/37   2222222222 222222 31bcb2c233b3cbc2b2c4 bcbc10b1c10   Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được 22b1c10 , tuy nhiên vì vai trò của a, b, c như nhau nên theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số 222 a1;b1;c1 luôn tồn tại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là 22 b1;c1 . Như vậy bài toán được chứng minh xong. Nhận xét: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách khác sau: Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số 1;1;1abbcca tồn tại hai số không trái dấu, Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó ta 1;1abbc khi đó ta được 21101abbcabcabbc Suy ra 222222212abcbabcabbc Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 2222222222222489abcabbccaabcabbcca Ta có 222222abcbabbc và 22233abcabbcca Lại thấy 22 12abab nên 222222264abbccaabbcca Và 222acac . Từ các bất đẳng thức trên ta được 2222222222222489abcabbccaabcabbcca Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1abc . Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 222abc2abc12abbcca Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại abc1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra thì a1;b1;c1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ab,abc,... nên ta nghĩ đến tích ca1b1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet. Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a1;b1;c1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a1;b1 , khi đó ta có a1b10ca1b10abcacbcc0 Khi đó ta có 22222abc2abc1ab1c2abcacbcc2abbcca Dễ thấy 22ab1c2abcacbcc0 nên ta có 22ab2ab1c2c2abc2ac2bc2bcca2abbcca
Trang 3/37 Suy ra 222abc2abc12abbcca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 . Nhận xét: Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức đúng với mọi số thực nếu thay đổi một chút: 22222222abcabcabbcca Theo nguyên lí Dirichlet thì 22222222222110cababccbcca Nên ta chỉ cần chứng minh 22222222222110abbccaabbccaabbcca Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1abc Bài toán 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 222abc2abc3a1b1c1 Lời giải Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với 2222abc2abc42abbcca2abc Theo bài toán 2 ta được 222abc2abc12abbcca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 222222abc32abca1b1c10 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 22222a2(b2)(c2)3abcabc1 Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 2222222222abbcca4abc2abc79abbcca Theo bất đẳng thức Cauchy thì 222222 2ab22bc22ca24ab4bc4ca Và 2223a3b3c3ab3bc3ca Từ đó kết hợp với bài toán 2 ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 . Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 222abcabc4 Chứng minh rằng: abbccaabc2 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại abc1 Cách 1: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1;b1;c1 cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a1b10 thì ca1b10abcbccac
Trang 4/37 Mặt khác ta có 22224abcabc2abcabc Suy ra 24c2ababc2cab Suy ra 0abbccaabc2cbccabccac2 Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có ca1b10abcbccac abbccaabcabbccaacbcc abbccaabcabc   Ta đi chứng minh abc2 Từ 222 abcabc4 ta được 22 22ab a4;b4;ab4 2   . Mặt khác cũng từ 222abcabc4 suy ra 222cabcab40 Xem đẳng thức trên là là phương trình là bậc hai theo biến c. Khi đó ta được 22222ab4ab44a4b0D Do đó phương trình có hai nghiệm 22ab4a4b c 2   và 22ab4a4b c 2   Vì c0 nên 22ab4a4b c 2   Do đó ta được   2222 22 2222 ab4a4bab4a4b ab2ab2 22 4ab4a4b4ab4a4bab0    Vậy bất đẳng thức phải chứng minh. Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abbccaabc4 . Chứng minh rằng: abcabbcca Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a1 và b1 cùng không âm Khi đó ta được ca1b10abcbccac Suy ra abcabcabcacbccabcabcabc1 Mặt khác ta có 22abcab 4abbccaabccabababccab 44   Suy ra 4c1abc14 ab  Do đó ta được abcabc4 nên ta có abcabcabbccaabc Hay abcabbcca . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nhân xét: Ta cũng có thể chứng minh theo cách sau đây