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FSSM—SMA—SEMESTRE 5—ANNÉE UNIVERSITAIRE 2021-2022 CHAPITRE 1 ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES ET ESPACES VETORIELS NORMÉS PAR PROF. MOHAMED AKKOUCHI Résumé. Cette partie de cours est le total du premier chapitre de la topologie (I) du semestre 5 de la filière SMA de la FSSM de l’Université Cadi Ayyad de Marrakech. Table des matières 1. Notions de topologie générale 2 1.1. Espaces topologiques, Définitions et exemples 2 1.2. Parties fermées dans un espace topologique 2 1.3. Voisinages d’un point 3 1.4. Intérieur, adhérence, frontière 3 1.5. Points isolés, points d’accumulation 5 1.6. Espaces topologiques séparés 5 1.7. Parties denses, espaces topologiques séparables 6 1.8. Topologie induite et sous-espaces topologiques 6 1.9. Suites dans un espace topologique, valeurs d’adhérence 7 1.10. Comparaison des topologies sur un même ensemble 8 2. Espaces métriques et espaces vectoriels normés 8 2.1. Distances et espaces métriques 8 2.2. Topologie associée à une distance 9 2.3. Comparaison entre les distances 10 2.4. Distances produits 10 2.5. Distances induites et sous-espaces métriques 11 2.6. Espaces topologiques métrisables 11 2.7. Espaces vectoriels normés 11 2.8. Comparaison entre les normes 12 3. Construction des espaces topologiques 12 3.1. Base d’une topologie 12 3.2. Topologie produit et produit d’espaces topologiques 13 3.3. Cas des espaces métriques produits 14 1
M. AKKOUCHI –TOPOLOGIE–FSSM–S5– –CHAPITRE–1 2 1. Notions de topologie générale 1.1. Espaces topologiques, Définitions et exemples. Définition 1.1. Soit E un ensemble non vide. Soit T ⊂ P(E) une famille (non vide de parties de E. (i) On dit que T est une topologie sur E si et seulement si, T verifie les trois conditions sui- vantes : (T 1) ∅ ∈ T , E ∈ T , (T 2) Une réunion quelconque d’éléments de T appartient à T . (T 3) Une intersection finie d’éléments de T appartient à T , (ii) Le couple (E, T ) est alors appelé un espace topologique. (iii) Les éléments de T sont dits les ouverts de E (pour la topologie T ). Exemple 1.1. E avec la topologie Tg = {∅, E}. On appelle Tg la topologie grossière (ou chaotique). Exemple 1.2. E avec la topologie Td = P(E), où P(E) est la famille de toutes les parties de E. Cette topologie s’appelle la topologie discrète sur E. Exemple 1.3. Dans E := R, on pose I la collection de tous les intervalles (dits ouverts finis) de la forme ]a, b[ avec −∞ < a ≤ b < +∞. Par convention, on pose ]a, a[:= ∅. On note Tu := {O ⊂ R : O est réunion quelconque d’éléments de I}. On montre (exercice) que Tu est une topologie sur R qu’on appelle la topologie usuelle de R que nous connaissons tous depuis les cours d’Analyse du premier semestre de cette filière.. On verra que cette topologie est associée de façon naturelle à la distance usuelle de R. De façon plus générale, on verra par la suite, qu’on peut construire des topologies à l’aide de distances ou de normes . Ainsi, on saura que les espaces métriques (resp espaces vectoriels normés) sont des cas particuliers d’espaces topologiques. 1.2. Parties fermées dans un espace topologique. Soit (E, T ) un espace topologique donné. Définition 1.2. Un ensemble F ⊂ E est dit fermé si, et seulement si, son complémentaire F c := E \ F est ouvert (c’est -à-dire, F c ∈ T ). Par passage aux complémentaires et en utlisant les lois (ensemblistes) de Morgan, on prouve la propositions suivante : Proposition 1.1. Soit (E, T ) un espace topologique. Alors (F 1) ∅ et E sont à la fois ouverts et fermés. (F 2) Une réunion finie d’ensembles fermés est est un ensemble fermé. (F 3) Une intersection quelconque de fermés est un ensemble fermé. Démonstration. (F 1) est vraie par définition d’une topologie. (F 2) Soient Fi , i = 1, . . . , n des fermés dans (E, T ). Alors Ui = F c i sont ouverts. On a [n i=1 Fi = [n i=1 X\Ui = E\ \n i=1 Ui ce qui est fermé car par (T 3) Tn i=1 Ui est ouvert. (F 3) Soient Fi , i ∈ I des fermés dans (E, T ) et posons Ui = F c i , pour tout i ∈ I. On a \ i∈I Fi = \ i∈I E\Ui = E\ [ i∈I Ui , ce qui est fermé car par (T 2) la réunion S i∈I Ui est un ensemble ouvert.
M. AKKOUCHI –TOPOLOGIE–FSSM–S5– –CHAPITRE–1 3 Dans la suite, on note FT la famille de (tous) les ensembles fermés dans l’espace topologique (E, T ). 1.3. Voisinages d’un point. Définition 1.3. Soit (E, T ) un espace topologique. On appelle voisinage de x ∈ E tout ensemble V ⊂ E qui contient un ouvert O qui contient x. On note Vx la famille de tous les voisinages de x. Ainsi, pour tout x ∈ X et toute partie V de X, on a : V ∈ Vx ⇐⇒ ∃O ∈ T , tel que x ∈ O ⊂ V. Proposition 1.2. Soit A une partie non vide d’un espace topologique (E, T ). Alors, on a : A est ouvert si, et seulement si, A est voisinage de chacun de ses points. C’est à dire que A ∈ T ⇐⇒ A ∈ Vx, pour tout x ∈ A. Démonstration. (=⇒) Si A est ouvert alors pour tout x ∈ A on a x ∈ A ⊂ A. Donc A ∈ V(x). (⇐=) Réciproquement, Pour tout x ∈ A, ∃ Ox ∈ T tel que x ∈ Ox ⊂ A. Il s’en suit que A = S x∈A Ox et donc A serait ouvert (par l’axiome (T 2)), ce qui finit la preuve. Des propriétés utiles des voisinages. Proposition 1.3. Soit (E, T ) un espace topologique. Soit x ∈ E. Alors on a : (a) Pour tout V ∈ V(x) et pour toute partie W de E. Si V ⊂ W, alors W ∈ V(x). (b) Une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x. (c) Pour tout V ∈ V(x), il existe un voisinage W ∈ V(x) tel que W ⊂ V et ∀ y ∈ W, on a V ∈ V(y). Démonstration. (a) Il existe un ouvert O ∈ T tel que x ∈ O ⊂ V ⊂ W. Par conséquent, on a W ∈ V(x). (b) Par récurrence, il suffit de montrer que l’intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x. Soient donc V1, V2 ∈ V (x). Il existe alors deux ouverts O1, O2 ∈ T tels que x ∈ O1 ⊂ V1 et x ∈ O2 ⊂ V2. D’ où x ∈ O1 ∩ O2 ⊂ V1 ∩V2. Comme O1 ∩ O2 ∈ T , on en déduit que V1 ∩V2 ∈ V(x). (c) Soit V ∈ V(x). Il existe alors un ouvert O ∈ T tel que x ∈ O ⊂ V . Posons W := O. Alors O ∈ V(x). De plus, pour tout y ∈ O, nous avons y ∈ O ⊂ V . Par suite, V ∈ V(y). Ceci finit la preuve. 1.4. Intérieur, adhérence, frontière. Ici, (E, T ) designe un espace topologique. Soit A ⊂ E. Définition 1.4. (Intérieur) Par définition, l’intérieur de A (et se note ◦ A ou Int(A)), est la réunion de tous les ouverts de E qui sont contenus dans A. i.e., ◦ A= [ O∈T , O⊂A O Exemple 1.4. On considère, dans R muni de sa topologie usuelle, A = [0, 1[. Alors ◦ A=]0, 1[. Définition 1.5. (Adhérence) Par définition, l’adhérence de A, (et se note A) est l’intersection de tous les fermes de E contenant A. i.e., A := \ F ∈FT , A⊂F F. Remarques. Soit (E, T ) designe un espace topologique. Alors (a) Il est clair que ∅ = ∅ et E = E. (b) A ∈ FT , pour toute partie A de E. (c) Il est clair que A ⊂ A pour toute partie A de E.
M. AKKOUCHI –TOPOLOGIE–FSSM–S5– –CHAPITRE–1 4 Exemple 1.5. On considère, dans R muni de sa topologie usuelle, A = [0, 1[. Alors A = [0, 1]. Proposition 1.4. Soit A une partie d’un espace topologique (E, T ). a) ◦ A est un ouvert contenu dans A. b) Si U est un ouvert et U ⊂ A, alors U ⊂ ◦ A. Autrement dit, ◦ A est le plus grand ouvert de (E, T ) contenu dans A. a’) A est un fermé contenant A. b’) Si F est un fermé et F ⊃ A, alors F ⊃ A. Autrement dit, A est le plus petit fermé de (E, T ) contenant A. Démonstration. a) ◦ A est une réunion d’ouverts contenus dans A, donc c’est un ouvert contenu dans A. b) est vrai par définition. La preuve est identique pour a’), b’) (à faire comme exercice). Proposition 1.5. Soient A et B deux parties d’un espace topologique (X, T ), on a : (1) A ⊂ B =⇒ ◦ A⊂ ◦ B et A ⊂ B. (2) ◦ A= X \ Ac , et (3) A = X\ ◦ Ac . Démonstration. (1) Evident. (2) On prouve la première égalité, qui revient, après passage au complémentaire, à X\ ◦ A= Ac . On a ◦ A= [ U ouvert, U⊂A U =⇒ X\ ◦ A= \ U ouvert, U⊂A U c = \ F fermé, F ⊃Ac F = Ac . (3) En appliquant l’équation (2) à Ac on obtient la troisième égalité. Ce qui finit la preuve. Proposition 1.6. Dans un espace topologique (X, T ), on a : (1) U ouvert ⇐⇒ U = ◦ U. (2) F fermé ⇐⇒ F = F. Démonstration. (a) (⇐=) cette implication est claire, car ◦ U est un ouvert. Réciproquement, si U est ouvert, alors le point b) de la proposition 1.4 (précédente) implique que U ⊂ ◦ U. Par ailleurs, on a toujours l’inclusion U ⊃ ◦ U, d’où l’égalité voulue. (b) En utilisant (2) de la proposition 1.5 et par passage au complémentaire dans (1), on obtient : F est fermé ⇐⇒ F c est ouvert ⇐⇒ F c = ◦ F c= X \ F ⇐⇒ F = F. Ce qui finit la preuve. Proposition 1.7. Soit A une partie d’un espace topologique (X, T ). (1) x ∈ ◦ A si et seulement si A contient un voisinage de x. (2) x ∈ A si et seulement si A intersecte tout voisinage de x. C’est à dire que : V ∩ A 6= ∅, pour tout voisinage V de x. Démonstration. (1) Soit x ∈ ◦ A. Alors ◦ A est un voisinage de x qui est contenu dans A. On suppose que A contient un voisinage de x. Alors il existe un ouvert U t.q. x ∈ U ⊂ A. Donc par definition de l’intérieur, on aura x ∈ U ⊂ ◦ A.