Title Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh An Giang Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2017-2018 [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA Khóa ngày 20-10-2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN BÀI THI THỨ NHẤT (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (5,0 điểm). Cho hàm số � = �(�) = �! − 3� + 1. a. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Gọi hoành độ các giao điểm là �"; �#; �!. b. Hãy tính giá trị của biểu thức � = �" $ + �# $ + �! $. Câu 2 (5,0 điểm). Giải hệ phương trình - �! + �! + 2�! = 19� − 11� − 5� + 1 �! + (�# + 1)� = (�# + �#)� + � 22 + �# + �# − 2�� = �# + �# − 2�� + √2 Câu 3 (5,0 điểm). Cho hai số thực �; � bất kỳ thỏa mãn (�# + 1)(1 − �) − 2 = 2�%(1 − �)# + 1 − 2�# + 2� + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của � = �� − �. Câu 4 (5,0 điểm). Cho hình hộp chữ nhật ����. �’�’�’�’. Gọi �; �; � và �; �; � lần lượt là ba góc tạo bởi đường chéo ��′ với ba cạnh chung tại đỉnh � và ba mặt chung đỉnh �. Chứng minh rằng: a. sin# � + sin# � + sin# � = 2. b. sin � . sin � . sin � ≤ √3 9 . ___________ Hết ___________ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi. Họ và tên thí sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh. . . . . . . . . . .
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA Khóa ngày 20-10-2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN BÀI THI THỨ HAI (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 5 ( 5,0 điểm). Cho ba số thực �; �; � thỏa mãn điều kiện �# + �# + �# = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của � = � + � + � + �� + �� + ��. Câu 6 (5,0 điểm). a. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (�&) biết rằng �" = 2; �# = 8; �&'" = 4�& − �&(". ∀� > 1; � ∈ �. b. Từ kết quả trên chứng minh rằng phương trình sau đây có vô số nghiệm nguyên dương �# + �# �� + 1 = 4 . Câu 7 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số �: � → � thỏa mãn �(�! − �) + 4� OP�(�)Q # + �#R = �(� + �(�)); ∀�; � ∈ �. Câu 8 ( 5,0 điểm). Cho hình lập phương ����. �′�′�′�′ có cạnh bằng � và một mặt phẳng (�) thay đổi chứa đường chéo ��’. Tìm vị trí của mặt phẳng (�) để thiết diện tạo bởi mặt phẳng (�) và hình lập phương có diện tích bé nhất, tính diện tích bé nhất đó theo �. ___________ Hết ___________ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi. Họ và tên thí sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh. . . . . . . . . . .
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤPQUỐC GIA Khóa ngày 20-10-2017 Môn : TOÁN ĐÁP ÁN Bài Lược giải Điểm Bài 1 Cho hàm số � = �(�) = �! − 3� + 1. a. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ �"; �#; �!. Ta có �(�) liên tục trên R �(−2) = −1; �(0) = 1; �(1) = −1; �(2) = 3 Nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thuộc các khoảng (−2; 0); (0; 1); (1; 2). 2,0 đ b. Hãy tính giá trị của biểu thức � = �" $ + �# $ + �! $. Do �%; � = 1,2,3 là nghiệm của phương trình �! − 3� + 1 = 0 ⟹ 3 �" = �" + �# + �! = 0 �# = �"�# + �#�! + �"�! = −3 �! = �"�#�! = −1 Ta lại có �% ! = 3�% − 1 ⟹ �% $ = (3�% − 1)! = 27 �% ! − 27�% # + 9�% − 1 �% $ = 27(3�% − 1) − 27�% # + 9�% − 1 = −27�% # + 90�% − 28 � = �" $ + �# $ + �! $ = −27(�" # + �# # + �! #) + 90(�" + �# + �!) − 28 = −27(�" # − 2�#) + 90�" − 28 = −27(6) + 90.0 − 28 = −190 3,0 đ Bài 2 : �! + �! + 2�! = 19� − 11� − 5� + 1 (1) �! + (�# + 1)� = (�# + �#)� + � (2) =2 + �# + �# − 2�� = �# + �# − 2�� + √2 (3) (2) ⟺ �! + (�# + 1)� = (�# + �#)� + � ⟺ (�# + �# + 1)� = (�# + �# + 1)� ⟺ (�# + �# + 1)(� − �) = 0 ⟺ � = �. Thay � = � vào phương trình (3) ta được =2 + �# + �# − 2�� = �# + �# − 2�� + √2 ⟺ =2 + (� − �)# = (� − �)# + √2 ⟺ √2 + � = � + √2 ⟺ A � = (� − �)# ≥ 0 2 + � = �# + 2√2� + 2 ⟺ A � ≥ 0 �# + C2√2 − 1D� = 0 ⟺ � = 0 � = 0 ⟹ � = �. Thay � = � = � vào phương trình (1) ta được �! + �! + 2�! = 19� − 11� − 5� + 1 ⟺ 4�! = 3� + 1 ⟺ 4�! − 3� − 1 = 0 ⟺ (� − 1)(4�# + 4� + 1) = 0 ⟺ � = 1; � = − 1 2 Vậy hệ phương trình có hai bộ nghiệm là (1; 1; 1); F− 1 2 ; − 1 2 ; − 1 2 G 5,0 đ