Title Chương 2_Bài 5_Dãy số_Lời giải_Toán 11_KNTT_Form 2025.pdf ✅

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 5: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ a) Nhận biết dãy vô hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *  được gọi là một dãy số vố hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u  u(n) . - Ta thường viết n u thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u  u(n) bởi un  , do đó dãy số un  được viết dưới dạng khai triển 1 2 3 u ,u ,u ,,un , Số 1 u gọi là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Chú ý. Nếu * n ,un  c thì un  được gọi là dãy số không đổi. a) Nhận biết dãy hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập M  {1;2;3;,m} với * m được gọi là một dãy số hữu hạn. - Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 1 2 , ,, m u u u . Số 1 u gọi là số hạng đẩu, số m u gọi là số hạng cuối. 2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN a) Nhận biết dãy số tăng giảm - Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có n1  n u u với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có n1  n u u với mọi * n . b) Nhận biết dãy số bị chặn - Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M với mọi * n .
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số un  có số hạng tồng quát cho bởi: a) 3 2 n u  n  ; b) 3 2 n n u   ; c) 1 1 n n u n         . Lời giải a) 1 2 3 4 5 1 0 0 u  1, u  4 , u  7 , u  1 0 , u  1 3, u  2 9 8 b) 3 0 1 2 3 4 5 1 0 0 u  6 , u  1 2 , u  2 4 , u  4 8, u  9 6 , u  3, 8 0 3  1 0 c) 1 2 3 4 5 1 0 0 9 6 4 6 2 5 2 , , , , 2 , 4 8 8 3 2 , 2 , 7 1 4 8 4 2 7 2 5 6 u  u  u  u  u  u  Bài 2.2. Dãy số un  cho bởi hệ thức truy hồi: 1 1 1, n n u u n u     với n  2 . a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát n u . Lời giải a) 1 2 3 4 5 u  1, u  2, u  6, u  24, u  120 . b) Ta có: 1 2 3 4 5 u  1  1!,u  2  2!,u  6  3!,u  24  4!,u  120  5 ! Vậy công thức số hạng tổng quát là: n u  n ! Bài 2.3. Xét tính tăng, giảm của dãy số un  , biết: a) 2 1 n u  n  ; b) 3 2 n u   n  ; c) 1 ( 1) 2 n n n u    . Lời giải a) Ta có: 2 1 u  3  u 1 suy ra đây là dãy số tăng. b) 2 1 u  4  u  1 suy ra đây là dãy số giảm. c) 2 1 1 1 4 2 u u     suy ra đây là dãy số giảm. Bài 2.4. Trong các dãy số un  sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn? a) 1; n u  n  b) 1 2 n n u n    ; c) sin n u  n ; d) 1 2 ( 1) n n u n    Lời giải a) Ta có   * 1 0 n u  n   n N suy ra n u bị chặn dưới. b) Ta có:   1 1 1 1 1 1; 1 0 2 2 2 2 n n n n u u n N n n n n                  . Suy ra n u bị chặn.. c) sin n u  n do đó   * 1 1 n   u  n  N Suuy ra n u bị chặn d) Ta có: 1 2 ( 1) 0 n n u n     nếu n là số tự nhiên lẻ 1 2 ( 1) 0 n n u n     nếu n là số tự nhiên chẵn
Dạy không bị chặn trên cũng không bị chăn dưới Bài 2.5. Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó: a) Đều chia hết cho 3 ; b) Khi chia cho 4 dư 1 . Lời giải a)   * 3 n u  n  n  N b)   * 4 1 n u  n  n  N Bài 2.6. Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức 0,06 100 1 . 12 n An         a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai. b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm. Lời giải a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: 1 1 0.06 100 1 100,5 12 A          (triệu đồng) Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: 2 2 0,06 100 1 101,0025 12 A          (triệu đồng) b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: 12 12 0,06 100 1 106,1678 12 A          (triệu đồng) Bài 2.7. Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi An n là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng. a) Tìm lần lượt 0 1 2 3 4 5 6 A , A , A , A , A , A , A để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng. b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số  An . Lời giải a) Ta có: 0 1 2 3 4 5 6 100 100 100 0, 008 2 98, 8 98, 8 98, 8 0, 008 2 97, 59 97, 59 97, 59 0, 008 2 96, 37 96, 37 96, 37 0, 008 2 95,14 95,14 95,14 0, 008 2 93, 90 93, 90 93, 90 0, 008 2 92, 65 A A A A A A A                                Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92,65triệu đồng. b) Hệ thức truy hồ: 1 1 1 0.008 2 1.008 2 An  An  An    An  (triệu đồng)
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số ( n u ) xác định bởi ( 1) 2 1 n n n u n     . Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Lời giải Ta có 1 2 3 4 5 ( 1) 3 2 5 4 0; ; ; ; 2 1 5 7 9 11 n n n u u u u u u n           . Ví dụ 2. Cho dãy số   n u , từ đó dự đoán n u a)   1 n n 1 n u 5 u : u u 3         ; b)   1 n n 1 n u 3 u : u 4u        Lời giải a) Ta có:     1 2 3 4 n u 5 u 5 1.3 u 5 2.3 u 5 3.3 ... u 5 n 1 .3 *           b) Ta có   1 2 2 3 3 4 n 1 n u 3 u 3.4 u 3.4 u 3.4 ... u 3.4 *       Ví dụ 3. Cho dãy số   n u , từ đó dự đoán n u a)   1 n n 1 n u 1 u : u 2u 3         ; b)   1 n 2 n 1 n u 3 u : u 1 u          Lời giải a) Ta có: