Title ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 5. MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC(308 Trang).doc ✅

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 9 | .1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 6. MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I. BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG Kiến Thức Cần Nhớ Để chứng minh bất đẳng thức AB . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: 0ABAB + Dạng tổng bình phương: 2220ABmXnYkZ , với các số m, n, k không âm + Dạng tích hai thừa số cùng dấu: .0ABXY hoặc 2.0nABXY Một Số Ví Dụ Minh Họa Ví dụ 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b là số thực bất kỳ. a) 222abab b) 2222abab c) 24abab d) 222abcabbcca e) 22223abcabc f) 23abcabbcca g) 22232abcabc h) 222 abc abc bca với ,,0abc . Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222abab (*) 222200aabbab rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab b) Cộng hai vế (*) với 22ab ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. c) Cộng hai vế (*) với 2ab ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. d) Từ 222abab , tương tự ta cũng có: 22222;2bcbccaca cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có: 22222222abcabbccaabcabbcca (**) Ngoài ra ta cũng có thể làm theo cách khác: 22222222abcabbccaabcabbcca
CHUYÊN ĐỀ 6. MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 2 22222222222200aabbbbccccaaabbcca , bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . e) Nhân hai vế (**) với 2 rồi cộng 2 vế với 222abc ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. f) Cộng 2 vế (**) với 2abbcca ta thu được điều phải chứng minh. g) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 2222121210aabbcc 2221110abc dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1abc . h) Với mọi số thực dương a, b, c và số thực k thỏa mãn: 01k ta có: 22222220102abkababkabababkab . Chia 2 vế cho 0b ta thu được: 22 2aba bak bb   , tương tự ta cũng có hai bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được: 222222 222abbccaabc abcabck bcabca     Hay 222222abbccaabc abckabc bcabca     . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . Ví dụ 2 Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 33ababab b) 3334abab c) 22222axbyabxy d) 22 112 111abab  với 1ab e) 22 112 111abab  với 1ab . f) 22 111 111abab  g) 222xyxy abab    với ,,,0abxy h) 2222222axbyczabcxyz i) 2222xyzxyz abcabc    với ,,,,,0abcxyz