Title GE15 - Pauta Capítulo Homotecia e Isometría.pdf ✅

1. Para el rect ́angulo con vertices A(2, 3), B(2, 1), C(6, 3) y D(6, 1) encuentre las imagenes de los v ́ertices B y C respectivamente si se sabe que el centro de homotecia es el origen y la raz ́on de esta misma es 3 (a) (18, 9) ; (6, 3) (b) (6, 3) ; (18, 9) (c) (9, 18) ; (3, 6) (d) (3, 6) ; (9, 18) (e) Ninguna de las anteriores Soluci ́on: Como la raz ́on de homotecia es 3 y el centro est ́a en el origen, basta con multiplicar cada coordenada de los puntos que nos piden por 3. Qued ́ando as ́ı: B(2, 1) =⇒ B0 (2 · 3, 1 · 3) y C(6, 3) =⇒ C 0 (6 · 3, 3 · 3) B0 (6, 3) y C 0 (18, 9) Por lo que B) es la alternativa correcta. 2. El per ́ımetro de un pol ́ıgono es 12 cm. Encuentre el per ́ımetro P del homot ́etico de centro O y raz ́on 3 (a) 12 cm (b) 12 cm2 (c) 36 cm2 (d) 36 cm (e) Ninguna de las anteriores Soluci ́on: Como las homotecias son semejanzas entre figuras, el per ́ımetro del pol ́ıgono homot ́etico ser ́a 3 veces el per ́ımetro del pol ́ıgono original. Por lo que tenemos: P = 3 · 12 = 36 cm Por lo que D) es la alternativa correcta. CEM MAURO QUINTANA #HOMOTECIA CEM PAES M2 MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL THE PAUTA
3. En la figura, el punto P 0 es homot ́etico al punto P con centro en O. ¿Cu ́al es la raz ́on de homotecia? (a) 5 2 (b) 2 5 (c) 2 3 (d) 3 2 (e) 5 3 Soluci ́on: Sabemos que la raz ́on de homotecia se calcula como un cuociente entre la distancia del centro al punto homot ́etico entre la distancia del centro al punto original. Por lo tanto tendr ́ıamos: k = OP0 OP = 6 + 4 4 = 10 4 = 5 2 Por lo que A) es la alternativa correcta. 4. Al tri ́angulo ABC de v ́ertices A(−2, 0), B(−1, 2), C(1, 1) se le aplica una homotecia de centro (3, 3) y raz ́on − 1 2 , ¿Cu ́al es la coordenada de C 0 ? (a) (4, 4) (b) − 1 2 , − 1 2 (c) (−2, 1) (d) (3, 3) (e) (2, 3) Soluci ́on: Como nos piden la imagen de C, nos enfocaremos solo en este punto. Sabemos que C tiene coordenadas (1, 1), luego nos dicen que se le aplicar ́a una homotecia de centro (3, 3) y raz ́on − 1 2 . De ac ́a se deduce que la homotecia es inversa. Adem ́as las distancias que hay tanto en X como en Y de C al centro de homotecia se reducir ́an a la mitad con respecto al punto homot ́etico. Vemos que para llegar desde el punto (1, 1) al punto (3, 3) basta con aplicar un vector de traslaci ́on de coordenadas (2, 2). Como el valor absoluto de la raz ́on de homotecia es 1 2 , el vector de traslaci ́on que hay para llegar desde el centro al punto homot ́etico ser ́a CEM MAURO QUINTANA #HOMOTECIA CEM PAES M2 MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL THE PAUTA
(1, 1) (ya que, las distancias se reducen a la mitad). Por lo tanto C 0 tendr ́a coordenadas (3 + 1, 3 + 1) que es equivalente a (4, 4). Por lo que A) es la alternativa correcta. 5. En la figura se muestra una homotecia hecha al tri ́angulo ABC el cu ́al es rect ́angulo en A. ¿CU ́al es la raz ́on de homotecia? (a) 1 8 (b) 1 19 (c) 1 3 (d) 1 2 (e) 3 Soluci ́on Vemos que en el tri ́angulo A0B0C 0 se presenta un tr ́ıo pitag ́orico de cateto 3 y 4, por lo tanto la hipotenusa resultada ser ́a 5, adem ́as tenemos la medida de un lado hom ́ologo perteneciente a la hipotenusa del tri ́angulo ABC Como son tri ́angulos semejantes la hipotenusa del tri ́angulo ABC multiplicada por la raz ́on de semejanza o de homotecia debe dar como resultado la hipotenusa del tri ́angulo homot ́etico. Armadno una ecuaci ́on resulta: 15 · k = 5 k = 1 3 De ac ́a se deduce que la raz ́on de homotecias es 1 3 Por lo que C) es la alternativa correcta. CEM MAURO QUINTANA #HOMOTECIA CEM PAES M2 MÉTODO CEM MAUROQUINTANA.CL THE PAUTA