Title 17. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

 Phương trình đường tròn có tâm ;Iab bán kính R là 222xaybR .  Phương trình đường tròn 222xaybR có thể được viết dưới dạng 22 220yaxbyxc , trong đó 222.bcRa Ngược lại phương trình 22 220yaxbyxc là phương trình đường tròn khi và chỉ khi 220bca .  Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm 00;Mxy : 00000xxxyyyab  Thí dụ 3.1 . Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng  : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2 10 . Lời giải. Gọi H là trung điểm của EF. Ta có IH  EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H. Ta có 10 2 EF  , Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) = 10 . Bán kính của đường tròn R = IE = 22 22 (,) 22 EFEF IHdI    20 . Phương trình đường tròn là : (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 20.  Bài tập tương tự. 1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt đường thẳng : x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2 . ĐS. 22 3534725 . 9981xy    2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm 6;2M và đường tròn 22:125.Cxy Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 10.AB ĐS. 30;3120.xyxy  Thí dụ 3.2 . Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 13 = 0 Lời giải. Gọi tâm đường tròn là I(a; - a – 1)  d. Ta có
IM = d(I; )  (a – 3) 2 + (- a – 1) 2 = 2 |3113| 10 aa    a= 2 v a = - 3. Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10 Phương trình đường tròn là : (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 10. Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85 Phương trình đường tròn là : (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 85.  Bài tập tương tự. 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3). ĐS. 22 2–125xy 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng  1 : x + 2y – 13 = 0,  2 : x + 2y – 7 = 0 ĐS. 22–1–120xy  Thí dụ 3.3 . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 224:Cxy và các điểm 8 1;, 3A    3;0B . Tìm tọa độ điểm M thuộc C sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 20 . 3 Lời giải. Giả sử 00;Mxy , ta có 220041MCxy Lại có 1,. 2MABSdMABAB , trong đó 10 ,:43120 3ABABxy Suy ra 00,44210223dAyMBx Từ (1) và (2) ta có hệ 22 00 00 4 312420 yx xy        Giải hệ trên ta tìm được 2;0M và 1448 ;. 2575M     Bài tập tương tự. 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 22:118Cxy và đường thẳng 4:20xy . Xác định tọa độ điểm M trên đường tròn (C), biết khoảng cách từ M đến đường thẳng  bằng 5 ĐS. 3;1M và 97 ; 55M   
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 22:51Cxy và hai điểm 2;0,A 2;6.B Xác định tọa độ điểm M thuộc đường tròn (C), biết diện tích tam giác MAB bằng 13. ĐS. 3;1M và 1129 ; 1313M   .  Thí dụ 3.4 . Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn 22:414Cxy qua đường thẳng :10.xy Lời giải. Đường tròn (C) có tâm 4;1I , bán kính R=2. Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), suy ra I’ đối xứng I qua  . Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với  là :30dxy Giao điểm của  và d là 2;1'0;3JI Hay phương trình đường tròn (C’) là 22':34.Cxy  Bài tập tương tự. 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x 2 + y 2 – 8x + 2y – 8 = 0 qua trục Ox. ĐS. 22–4–125.xy 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 qua gốc toạ độ O. ĐS. 22 3216.xy  Thí dụ 3.5 . Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn 22:232Cxy và 22':128Cxy . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’). Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm 2;3,I bán kính 2R và đường tròn (C’) có tâm '1;2I bán kính '22R nên '2'IIRR  (C) và (C’) tiếp xúc trong tại điểm M là nghiệm của hệ   22 22 23 3;4 12 2 8 xy M xy         Suy ra tuyeetp tuyến chung của hai đường tròn (C) và (C’) qua M và nhận véctơ '1;1II→ làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình 70.xy  Bài tập tương tự. 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 221230:Cyxy và 2228828:0yxCxy . ĐS. 20;34140;3460;724740.xxyxyxy 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 221450:Cyxy và 22268160:.yxxyC ĐS. 22350;20;4390.xyyxy  Thí dụ 3.6. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình 22182xy và điểm A thuộc đường thẳng :230.dxy Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết rằng 2BDAC và hoành độ điểm A không nhỏ hơn 2. Lời giải. Trong tam giác IAB có 2222 11151 84IAIBIHIA 10 210 IA IB     Giả sử 23;Aaa từ 10 2 2 A IA a x       hay 1;2A . Suy ra 3;4C Phương trình đường thẳng BD: x-3y-5=0. Kết hợp với 210IBID Tọa độ các điểm B, D là nghiệm của hệ phương trình 22 3508;1 4;32140 xyxy xyxy       Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD là 1;2,8;1,3;4,4;3ABCD hoặc 1;2,4;3,3;4,8;1ABCD .  Bài tập tương tự. 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn 22:2310Cxy . Xác định tọa độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm 3;2M và điểm A có hoành độ dương. ĐS. 6;1,2;5.AC