Title CHỦ ĐỀ 4- PHÉP CHIA ĐƠN THỨC - ĐA THỨC.docx ✅

CHỦ ĐỀ 4: CHIA ĐƠN THỨC, ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Chia đơn thức cho đơn thức * Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau : + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. + Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B. + Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. * Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ N ta có : x m  : x n  = x m-n  (nếu m > n) x m  : x n  = 1 (nếu m = n) (x m ) n  = x m.n x 0  = 1   ;   1 n  = 1 (-x) n  = x n  nếu n là một số chẵn (-x) n  = -x n  nếu n là số lẻ (x – y) 2  = (y – x) 2 (x – y) n  = (y – x) n  với n là số chẵn 2. Chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. 3. Định lý Bezout Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a) Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP. DẠNG 1: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức. a) 10x 3 y 2 z : (-4xy 2 z)                           f) (−35xy 5 z) : (−12xy 4 ) b) 32x 2 y 3 z 4  : 14y 2 z                                   g) x 3 y 4  : x 3 y c) 25x 4 y 5 z 3  : (-3xy 2 z)                         h) 18x 2 y 2 z : 6xyz
d) 5x 3 y 2 z : (-2xyz)                             i) 27x 4 y 2 z  : 9x 4 y e) (-12x 5 y 4 ) : (-4x 2 y)                         k) 5x 3 y : 23xy DẠNG 2: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Bài toán 2 : Thực hiện phép tính. a) (4x 5  – 8x 3 ) : (-2x 3 ) b) (9x 3  – 12x 2  + 3x) : (-3x) c) (xy 2  + 4x 2 y 3  – 3x 3 y 4 ) : (-2xy 2 ) d) (-3x 2 y 3  + 4x 3 y 4  – y 4 y 5 ) : (-x 2 y 3 ) e) [2(x – y) 3  – 7(y – x) 2  – (y – x)] : (x – y) f) [3(x – y) 5  – 2(x – y) 4  + 3(x – y) 2 ] : [5(x – y) 2 ] DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP. Bài toán 3 : Thực hiện phép chia. a) (2x 3  – 5x 2  – x + 1) : (2x + 1) b) (x 3  – 2x + 4) : (x + 2) c) (6x 3  – 19x 2  + 23x – 12) : (2x – 3) d) (x 4  – 2x 3  – 1 + 2x) : (x 2  – 1) e) (6x 3  – 5x 2  + 4x – 1) : (2x 2  – x + 1) f) (x 4  – 5x 2  + 4) : (x 2  – 3x + 2) g) ( x 3  – 2x 2  – 5x + 6 ) : ( x + 2 ) h) ( x 3  – 2x 2  + 5x + 8) : ( x + 1 ) DẠNG 4: TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC Phương pháp giải :  Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R. Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết. a) A = x 4  + 3x 3  + 2x 2  – x – 4 và B = x 2  – 2x + 3 b) A = 2x 3  – 3x 2  + 6x – 4 và B = x 2  – x + 3 c) A = 2x 4  + x 3  + 3x 2  + 4x + 9 và B = x 2  + 1 d) A = 2x 3  – 11x 2  + 19x – 6 và B = x 2  – 3x + 1 e) A = 2x 4  – x 3  – x 2  – x + 1 và B = x 2  + 1
DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B I/ Phương pháp giải: * Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m Để A chia hết cho B thì R = 0 => m = * Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n) - Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q - Viết A = Q.B + k - Để A chia hết cho B  k chia hết cho B  B là Ư(k) => n = II/ Các ví dụ. Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n 3  – 4n 2  – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1. Giải Thực hiện phép chia 4n 3  – 4n 2  – n + 4 cho 2n + 1, ta được : 4n 3  – 4n 2  – n + 4 = (2n + 1).(n 2  + 1) + 3 Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được : 2n + 1 = 3  n = 1 2n + 1 = 1  n = 0 2n + 1 = -3  n = -2 2n + 1 = -1  n = -1 Vậy n =  1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 2: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết A = 8x 2  – 26x + m và B = 2x – 3 Giải A : B được thương là 4x – 7 và số dư là m – 21 Để A chia hết cho B thì m – 21 = 0  m = 21 III/ Vận dụng. Bài toán 5: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết. b) A = x 3  + 4x 2  + 4x + m và B = x + 3
c) A = x 3  – 13x + m và B = x 2  + 4x + 3 d) A = x 4  + 5x 3  – x 2  – 17x + m + 4 và B = x 2  + 2x – 3 e) A = 2x 4  + mx 3  – mx – 2 và B = x 2  – 1 Bài toán 6 : Cho các đa thức sau: A = x3 + 4×2 + 3x – 7 B = x + 4 a) Tính A : B b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B Bài toán 7 : Tìm x, biết. a) (8x 2  – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8 b) (2x 4  – 3x 3  + x 2 ) : (-x 2 ) + 4(x – 1) 2  = 0 Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết. a) A = 8n 2  – 4n + 1 và B = 2n + 1 b) A = 3n 3  + 8n 2  – 15n + 6 và B = 3n – 1 c) A = 4n 3  – 2n 2  – 6n + 5 và B = 2n – 1 DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout I/ Định lý: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a) Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0 II/ Vận dụng. Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi : a) Khi f(x) = x 3  + 2x 2  – 4x + 3 chia cho x – 2 b) Khi f(x) = x 4  – 3x 2  + 2x – 1 chia cho x + 1 c) Khi f(x) = x 3  – 3x 2  + 4x – 5 chia cho x – 2 d) Khi f(x) = x 27  + x 9  + x 3  + x chia cho x – 1 Bài toán 10 : Chứng minh : a) x 50  + x 10  + 1 chia hết cho x 20  + x 10  + 1 b) x 2012  + x 2008  + 1 chia hết cho x 2  + x + 1