Title Chuyên đề 20 . VỊ TRÍ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.doc ✅

Chương VỊ TRÍ TƯƠNG GIAOGIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 20 A.Kiến thức cần Cho Parabol (P): 2yaxa0 và đường thẳng ybxc có đồ thị là (d) . Khi đó hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm của phương trình: 2axbxc (*)  (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  (P) không cắt (d)  phương trình (*) vô nghiệm  (P) tiếp xúc với (d)  phương trình (*) có nghiệm kép B. Một số ví dụ Ví dụ 1:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho Parabol (P) có phương trình 2yx và đường thẳng (d) có phương trình ykx1 (k là tham số) . Tìm k để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho MN210 (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải. Để giải quyết dạng toán này , chúng ta cần thực hiện qua các bước sau:  Bước 1. Tìm điều kiện để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tức là phương trình 21xkx có hai nghiệm phân biệt.  Bước 2. Vận dụng hệ thức Vi-ét. Vì 1122;,;MxyNxy thuộc (d), biểu diễn 12,yy theo 12,xx rồi theo k.  Bước 3. Vận dụng công thức : 1122;,;MxyNxy thì: 222121MNxxyy .Sau đó tìm k Bước 4. Nhận xét, so sánh k tìm được với bước 1, rồi trả lời Trình bày lời giải (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 1122;,;MxyNxy thì 12;xx là nghiệm của phương trình : 210xkx Xét 240k với mọi k, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: 12 12.1 xxk xx     Vì M, N thuộc (d) nên 112221211;1ykxykxyykxx Ta có: 222222221212121210MNxxyyxxkxx 22222121214011440kxxkxxxx  2242144053602kkkkk Vậy với 2k thì đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho 210MN Ví dụ 2:Cho Parabol (P) : 2y2x . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ bằng 1, điểm B có hoành độ bằng 2. Tìm m và n để đường thẳng d:ymxn tiếp xúc với Parabol (P) và song song với đường thẳng AB. (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Vĩnh Long ,năm học 2011-2012) Giải Tìm cách giải . Qua dữ kiện và yêu cầu của bài toán . Chúng ta có thể giải bài toán theo bước sau :  Bước 1. Biết hoành độ của điểm A và B , đồng thời A và B cùng thuộc (P) nên tính được tung độ điểm A và B. Từ đó viết phương trình đường thẳng AB.  Bước 2. Vì (d) song song với AB nên aa . Tìm được m  Bước 3. Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P) nên vận dụng phương trình : 2axbxc có nghiệm kép .Từ đó tìm được n Trình bày lời giải Tung độ của điểm A là 2y2.12A1;2
Tung độ của điểm B là 2y2.28A2;8 Gọi phương trình đường thẳng AB là yaxb Suy ra : ab2a6 2ab8b4     Vậy phương trình đường thẳng AB là y6x4 (d) song song với AB nên m6 (d) tiếp xúc với Parabol 2P2x6xn có nghiệm kép 2 2x6xn0 có nghiệm kép 9 '92n0n 2 Vậy với 9 m6,n 2 thì đường thẳng d:ymxn tiếp xúc với Parabol (P) và song song với đường thẳng AB Ví dụ 3:Trong cùng một hệ tọa độ , cho đường thẳng d:yx2 và Parabol (P): 2yx . Gọi A và B là giao điểm của d và (P) a) Tính độ dài AB b) Tìm m để đường thẳng d:yxm cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CDAB (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải a) Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình : 22 12xx2xx20x1;x2  Với x1 thì y121 suy ra A1;1  Với x2 thì y224 suy ra B2;4 Độ dài đoạn thẳng AB là : 22AB121432 (đvđd) b) Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D là : 2xxm có hai nghiệm phân biệt 1 14m0m 4 Đặt 1122Cx;y;Dx;y thì 12x;x là nghiệm của phương trình : 2xxm0 Theo hệ thức Vi-et ta có : 12 12 xx1 xxm     Vì 1122Cx;y;Dx;y thuộc (d) nên 1122yxm;yxm 2222221212121CDABxxyy32xxxx18 22212112xx9xx4xx914m9m2 Vậy với m2 thì đường thẳng d:yxm cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CDAB Ví dụ 4:Cho Parabol 21P:yx 4 và đường thẳng 1d:yx2 2 a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng hệ trục Oxy b) Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) . Tìm điểm M trên cung  AOB của (P) Sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất c) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho NANB nhỏ nhất Giải Tìm cách giải  Để tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất , ta có hai hướng suy nghĩ: Hướng 1 . Vì A, B đã biết nên phương trình đường thẳng AB là viết được và độ dài đoạn thẳng AB xác định được . Mặt khác vì tập hợp điểm M chỉ trên cung  AOB của (P) nên để diện tich tam giác MAB lớn nhất
chúng ta cần xác định khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất . Từ đó chúng ta nghĩ tới việc viết đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) là : yaxb . Khi đó cung  AOB của (P) chỉ nằm giữa (d) và d nên khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất khi M trùng với tiếp điểm d và (P) Hướng 2 . Gọi C,D, N lần lượt là hình chiếu của B, A, M trên trục hoành . Khi đó ABCD, AMND , BCNM là hình thang và ABCD có diện tích xác định.Để diện tích tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi tổng diện tích AMND và BCMN có diện tích nhỏ nhất . Vậy ta tính tất cả cách diện tích hình thang trên theo tọa độ đã biết và m.  Tìm điểm N trên trục Ox sao cho NANB nhỏ nhất , chúng ta dựa vào kiến thức hình học . Lấy B đối xứng với B qua Ox thì độ dài AB không đổi đồng thời OBOB nên NANBNANBAB Trình bày lời giải a) Tự vẽ hình b) Gọi phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) là : yaxb Vì d//d nên : 11ad:yxb 22 d tiếp xúc với P phương trình hoành độ giao điểm 211 xxb 42 hay 2 x2x4b0 có nghiệm kép 1 '14b0b 4 Khi đó , phương trình d là 11 yx 24 . Tiếp điểm có hoành độ là nghiệm kép của phương trình: 21 x2x10x1y 4 Tọa độ tiếp điểm là 1 T1; 4     Kẻ MHAB . Ta có : ABM 1 SAB.MH 2 . Do đó AB không đổi nên ABMS lớn nhất MH lớn nhất M trùng với 1 TM1; 4    
c) Tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình : 2211 xx2x2x80 42 Suy ra 1212x4;x2y4;y1 Do đó A4;4;B2;1 . Lấy B đối xứng với B2;1 qua Ox , ta có B2;1 khi đó NBNB NANBNANBAB Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,N,B thẳng hàng . Suy ra điểm N cần tìm chính là giao điểm của AB và trục Ox . Gọi phương trình của đường thẳng AB có dạng ymxn . Do A4;4 và B2;1 thuộc đường thẳng nên : 5 m 4mn46 2mn12 n 3          Phương trình của AB là : 52 yx 63 Suy ra tọa độ của N là nghiệm của hệ : 534 yxx 625 y0y0       vậy 4 N;0 5    Ví dụ 5:Cho Parabol 2P:yx và đường thẳng d:yxm với m0 .Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông tại O Giải Tìm cách giải. Những bài toán về tọa độ liên quan đến khoảng cách , góc vuông thông thường chúng ta nghĩ tới vận dụng hệ thức Vi-ét . Do vậy , để giải quyết bài toán này :  Bước 1.Tìm điều kiện m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt . Tức là phương trình : 2xxm có hai nghiệm phân biệt , trong đó nghiệm của phương trình là hoành độ của giao điểm  Bước 2. Sử dụng định lí đảo Py-ta-go : OAB là tam giác vuông tại O 222 OAOBAB Từ đó chúng ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi 1122Ax;y;Bx;y thì 12x;x là nghiệm của phương trình : 2xxm 2 xxm0