Title PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ Cho hàm số ()fx xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số ()Fx được gọi là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên K nếu ()()Fxfx với mọi x thuộc K . Chú ý. Trường hợp [;]Kab thì các đẳng thức ()()Fafa và ()()Fbfb được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm xa và đạo hàm bên trái tại điểm xb của hàm số ()Fx , tức là ()()()() lim() và lim(). xaxb FxFaFxFb fafb xaxb    Ví dụ 1: Cho hàm số 2()2fxxx . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên ℝ ? a) 3 2 () 3 x Fxx ; b) 3 2 () 3 x Gxx . Giải Ta có: 22()2,()2FxxxGxxx . Vì ()()Fxfx với mọi xℝ nên hàm số ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên ℝ . Hàm số ()Gx không là nguyên hàm của ()fx trên ℝ vì với 1x , ta có (1)31(1). Gf Giả sử hàm số ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số ()FxC cũng là một nguyên hàm của ()fx trên K ; b) Nếu hàm số ()Gx là một nguyên hàm của ()fx trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho ()()GxFxC với mọi xK . Như vậy, nếu ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên K thì mọi nguyên hàm của ()fx trên K đều có dạng ()FxC ( C là hằng số). Ta gọi ()()FxCCℝ là họ các nguyên hàm của ()fx trên K , kí hiệu bởi ()fxdx  . Chú ý a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số ()fx trên K , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm ()Fx của ()fx trên K và khi đó ()(),fxdxFxCC  là hằng số b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số ()fx liên tục trên khoảng K thì ()fx có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức ()fxdx gọi là vi phân của nguyên hàm ()Fx , kí hiệu là ()dFx . Vậy ()()()dFxFxdxfxdx .
2 d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 ()fxx trên ℝ . Từ đó hãy tìm 2xdx  . Giải Vì 32 23 33 xx x      nên 3 () 3 x Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên ℝ . Do đó, 3 2   3 x xdxC  . 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho ()fx là hàm số liên tục trên ,Kk là một hằng số khác 0. Giả sử ()Fx là một nguyên hàm của ()fx trên K . ()()(0)kfxdxkfxdxk  Ví dụ 3: Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) 23 xdx  b) 23   2xdx  Giải Ta có: a) 3 223 3 3 3 3 x xdxxdxCxC  . b) 3 2233331    22232 x xdxxdxCxC  . Cho ()fx và ()gx là hai hàm số liên tục trên K . Giả sử ()Fx là một nguyên hàm của ()fx , ()Gx là một nguyên hàm của ()gx trên K . ()()()()fxgxdxfxdxgxdx .
3 ()()()()fxgxdxfxdxgxdx . Ví dụ 4: Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a) 2xxdx b) 3243xxdx Giải Ta có: a) 3222   32 xx xxdxxdxxdxC  . b) 323243434 3 xxdxxdxxdxxxC . Ví dụ 5: Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi ()53( /)vttms , với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét? Giải Gọi ()(030)Stt là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Ta có ()()vtSt . Do đó, ()St là một nguyên hàm của hàm số vận tốc ()vt . Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được 23 ()()(53)53 5 2StvtdttdtdttdtttC  Theo giả thiết, (0)0S nên 0C và ta được 23 ()5( ) 2Stttm . Máy bay rời đường băng khi 30t (giây) nên 23 (30)305301500( ) 2SSm . Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là 1500 Sm . 3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa