Title Chương 7_Bài 1. _Lời giải_Toán 11_CD.docx ✅

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây, và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận được phương trình chuyển động của viên bi là 21 2yfxgx ( g là gia tốc rơi tự do, 2 9,8/gms ). Giả sử tại thời điểm 0x , viên bi ở vị trí 0M có 00yfx ; tại thời điểm 1x , viên bi ở vị trí 1M có 11yfx . Khi đó, trong khoảng thời gian từ 0x đến 1x , quãng đường viên bi đi được là 0110MMfxfx (Hình 2). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là . Nếu 10xx càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm 0x . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số 10 10 fxfx xx   khi 1x dần 0x là vận tốc tức thời tại thời điểm 0x của viên bi, kí hiệu là 0vx . Nói cách khác,  10 10 0 10 lim xx fxfx vx xx    . Giá trị 0vx gọi là đạo hàm của hàm số 21 2yfxgx tại thời điểm 0x . b) Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , QQt . Cường độ trung bình trong khoảng thời gian 0tt được xác định bởi công thức 0 0 QtQt tt   . Nếu 0tt càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm 0t . Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:
Giới hạn hữu hạn (nếu có)  0 0 0 lim tt QtQt tt   được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 0t . 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Hoạt động 1. Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 01xs trong bài toán tìm vận tốc tức thời. Lời giải Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 01xs   111 222 11 1 111 111 1111 .1.9,5.9,8 1 2222 1limlimlim9,8/ 111xxx gxgx fxf vms xxx     Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;ab và điểm 0;xab . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn  0 0 0 lim xx fxfx xx   thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số yfx tại 0x và được kí hiệu là 0fx hoặc 0xy . Nhận xét. Trong định nghĩa trên, ta đặt: 0xxx và gọi x là số gia của biến số tại điểm 0x ; 00yfxxfx và gọi y là số gia của hàm số ứng với số gia x tại điểm 0x . Khi đó, ta có: 00 0 00 limlim xx fxxfxy fx xx    . 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Cho hàm số yfx xác định trên khoảng ;ab và điểm 0x thuộc khoảng đó. Để tính đạo hàm 0fx của hàm số yfx tại 0x , ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét x là số gia của biến số tại điểm 0x . Tính 00yfxxfx . Bước 2. Rút gọn tỉ số y x   . Bước 3. Tính 0lim x y x   . Kết luận: Nếu 0lim x y a x    thì 0fxa . Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 1fx x tại 02x bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm 02x . Ta có: 22yfxf11 22x    22 2222 xx xx    .
Suy ra:  1 22 y xx    . + Ta thấy: 00 11 limlim 224xx y xx    . Vậy 12 4f  . ❓ Tính đạo hàm của hàm số 2fxx tại 03x bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm 03x . Ta có: 33yfxf232.32xx . Suy ra: 2y x    . + Ta thấy: 00limlim22 xx y x    . Vậy 32f . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số 2fxx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm x . Ta có: yfxxfx222xxxxxx . Suy ra: 2y xx x    . + Ta thấy:  00 limlim22 xx y xxx x    . Vậy 2fxx . ❓ Tính đạo hàm của hàm số 3fxx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm x . Ta có: yfxxfx 33223223.3...33.xxxxxxxxxxxxx . Suy ra: 2233.yxxxx x    . + Ta thấy: 222 00 limlim33.3 xx y xxxxx x    . Vậy 23fxx . Nhận xét. Hàm số 2fxx có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng ; . Ta nói hàm số đó có đạo hàm trên khoảng ; . Một cách tổng quát: Hàm số yfx được gọi là có đạo hàm trên khoảng ;ab nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. 4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình sst , với sst là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0t là đạo hàm của hàm số tại 0t : 00vtst II.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Cho hàm số yfx có đồ thị C , một điểm 0M cố định thuộc C có hoành độ 0x . Với mỗi điểm M thuộc C khác 0M , kí hiệu Mx là hoành độ của điểm M và Mk là hệ số góc của cát tuyến 0MM . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn 00lim M M xx kk  . Khi đó, ta coi đường thẳng 0MT đi qua 0M và có hệ số góc 0k là vị trí giới hạn của cát tuyến 0MM khi điểm M di chuyển dọc theo C dần tới 0M . Đường thẳng 0MT được gọi là tiếp tuyến của C tại điểm 0M , còn 0M được gọi là tiếp điểm (Hình 3). Hình 3 a) Xác định hệ số góc 0k của tiếp tuyến 0MT theo 0x . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0M . Ta có:   00 0 00 0 limlim MM M M xxxx M fxfx kkfx xx    . Như vậy ta có kết luận sau: + Đạo hàm của hàm số yfx tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 000;Mxfx . + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yfx tại điểm 000;Mxfx là 000yfxxxfx . Ví dụ 3. Cho hàm số 2yx có đồ thị C . a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm 3;9M . Lời giải a) Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là:   2 2 333 33 3limlimlim36 33xxx fxfx fx xx    . b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm 3;9M là: 639yx hay 69yx .