Title Toán thực tế 12_Chuyên đề 7_ _Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số F x( ) xác định trên K sao cho F x f x '( ) = ( ) thì F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K. Định lí 1. Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x F x C ( ) = + ( ) cũng là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K. Định lí 2. Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng G x F x C ( ) = + ( ) với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số f x( ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất của nguyên hàm: f x dx f x C '( ) = + ( )  với C là hằng số. kf x dx k f x dx ( ) = ( )   với k là hằng số khác 0. f x g x f x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    =       Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân của f x( ) là d f x f x dx ( ) '( )   =   Với u là một hàm số 0dx C=  0du C=  dx x C = +  du u C = +  ( ) 1 1 1 1 x dx x C     + = +  − +  ( ) 1 1 1 1 u du u C     + = +  − +  1 dx x C ln x = +  1 du u C ln u = +  x x e dx e C = +  u u e du e C = +  ln x x a a dx C a = +  ln u u a a dx C a = +  cos sin xdx x C = +  cos sin udu u C = +  sin cos xdx x C = − +  sin cosu udu C = − +  2 1 tan cos dx x C x = +  2 1 tan cos du u C u = +  2 1 cot sin dx x C x = − +  2 1 cot sin du u C u = − +  3. Ứng dụng nguyên hàm trong bài toán chuyển động Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là
s v t = Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm. Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t) Đạo hàm của quãng đường là vận tốc s t v t ( ) = ( ) Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s t v t dt ( ) = ( )  Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t) Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc v t a t ( ) = ( ) Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc v t a t dt ( ) = ( )  B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc v m s = 3 / ( ) thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a t( ) có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên. Sau 15stăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất. t(s) a 15 90 O