Title Chuyên đề 12. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.doc ✅

Chương 3. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cần nhớ Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình: - Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết. - Từ đó lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng Bước 2. Giải hệ phương trình Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi) Giải Tìm cách giải. Bài toán này là bài toán chuyển động trong dòng chảy. Bạn cần nhớ rằng: ● Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước ● Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Sau đó viết thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng theo quãng đường xuôi và ngược từ đó thiết lập được hệ phương trình. Trình bày lời giải Gọi vận tốc riêng của ca nô là /,0xkmhx Vận tốc của dòng nước là /,0ykmhyx
Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là /xykmh Vận tốc ngược dòng của ca nô là /xykmh Theo đề bài, ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km, ta có phương trình:   10863 7 xyxy (1) Theo đề bài, ca nô chạy trên sông cũng trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 64km, ta có hệ phương trình: 8184 7 xyxy  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 10863 7 8184 7 xyxy xyxy          Đặt 1 a xy  ; 1 b xy  . Hệ phương trình có dạng: 108637 81847 ab ab    Giải ra ta được 1 27 1 21 a b         suy ra 2724 213 xyx xyy    (thỏa mãn) Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24/kmh Và vận tốc của dòng nước là 3/kmh Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m , nếu tăng chiều dài thêm 3m , tăng chiều rộng thêm 2m thì diện thích tăng thêm 245m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Giải Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là x(m,x>0) và chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là (,0)ymy Theo đề bài, chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 34m , ta có phương trình: 2341xy
Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm 3m , tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 245m , ta có phương trình: 32452xyxy Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình:   23417 32452339 xyxy xyxyxy     Giải ra ta được: 12 5 x y    (thỏa mãn) Vậy chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là 12m, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là 5m Ví dụ 3: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong công việc đó hết bao nhiêu thời gian? Giải Tìm cách giải. Bài toán này là bài toán về công việc đồng thời. Để giải loại toán này, chúng ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Suy ra: 1 n¨ng suÊt = thêi gian .Lập phương trình theo mẫu: Tæng c¸c n¨ng suÊt riªng = n¨ng suÊt chung Trình bày lời giải: Gọi người thứ nhất làm một mình xong công việc thời gian là ,12xngµyx Gọi người thứ hai làm một mình xong công việc thời gian là ,12yngµyy 1 ngày người thứ nhất làm được 1 x công việc 1 ngày người thứ hai làm được 1 y công việc Theo đề bài, hai người làm chung 12 ngày thì xong, ta có phương trình:
111 12xy 1 Theo đề bài, họ làm chung được 8 ngày, người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong, ta có phương trình: 1110818 811 xyyxy     (2) Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: 111 12 818 1 xy xy          Giải ra ta được: 20 30 x y    (thỏa mãn) Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 20 ngày; thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc hết 30 ngày Ví dụ 4: Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh khá và giỏi. Nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì 1 6 số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì 1 5 số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp. Giải Gọi số học sinh giỏi là x và số học sinh khá là y ;;. häc sinhxyNxy Chuyển 1 học sinh giỏi đi thì số học sinh giỏi là 1x học sinh Theo đầu bài, nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì 1 6 số học sinh còn lại là học sinh giỏi, ta có phương trình: 11 16 x xy    (1) Chuyển 1 học sinh khá đi thì số học sinh khá là 1y học sinh Theo đầu bài, nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì 1 5 số học sinh còn lại là học sinh giỏi, ta có phương trình: 1 15 x xy  2