Title Bài 6_Cấp số cộng_KNTT_Đề không dòng chấm.pdf ✅

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA a) Nhận biết dãy vô hạn - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Cấp số cộng un  với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi un  un1  d,  n  2 Chú ý. Để chứng minh un  là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiêp n  n1 u u không đổi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tồng quát n u của nó được xác định theo công thức 1   ( 1) . n u u n d 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  với công sai d . Đặt n  1  2  n S u u u . Khi đó 2 1 ( 1) . 2 n    n S u n d Chú ý. Sử dụng công thức 1   ( 1) n u u n d , ta có thể viết tổng n S dưới dạng  1  . 2   n n n u u S B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d    với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, ta xét n 1 n d u u     Nếu d là hằng số thì un  là một cấp số cộng với công sai d.  Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n  b) Dãy số un  với 2 5. n u   n  Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng.
a) Dãy số un  với 2 1. n u  n  n  b) Dãy số un  với  1 3 . n n u    n Dạng 2. Xác định số hạng , công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng 1. Phương pháp  Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu 1 u và công sai d  Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số 1 u và d rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 3 u 15 và d  2 . Tìm . n u Ví dụ 2: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un  có 1 u  123 và 3 15 u  u  84 . Tìm số hạng 17 u . Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  có 1 u  123 và 3 15 u  u  84 . Tìm số hạng 17 u . Cho cấp số cộng un  có 1 5 u  2u  0 và 4 S  14 . Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của cấp số cộng. Dạng 3. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức:     1 n 1 n n u u n 2u n 1 d S 2 2          2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 1 u  4 và d  5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên Ví dụ 3: Tính tổng S 1 2  3 4  5 ... 2n 1  2n với n  1 và n. Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 2 8 9 15 u  u  u  u 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Ví dụ 5: Cho cấp số cộng un  có công sai d  3 và 2 2 2 2 3 4 u  u  u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 100 S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Ví dụ 5. Biết 4 8 12 16 u  u  u  u  224. Tính 19 S . Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) 1. Phương pháp Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b. Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số 4;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x. Ví dụ 2: Nếu các số 5  m; 7  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số 7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công?
Dạng 5. Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng lập thành cấp số cộng, bài toán có sử dụng yếu tố cấp số cộng 1. Phương pháp Nếu un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 1 1 . 2 k k k u u u     Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b. Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Chứng minh rằng ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 2. Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng a) 2 2 a  2bc  c  2ab. b)   2 2 a  8bc  2b  c . Ví dụ 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng:   3 2 2 x  3mx  2m m  4 x  9m  m  0 . Ví dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: 4 2 2 x 10x  2m  7m  0 . C. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.8. Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau: a) 4,9,14,19,; b) 1,1,3,5, Bài 2.9. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số un  sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u n  u1  n  1  d . a) 3 5 n u   n ; b) 6 4 n u  n  ; c) 1 1 2, n n u u u n     ; d) 1 1 2, 3 n n u u u     . Bài 2. 10. Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32 . Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này. Bài 2. 11. Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2 . Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này đề có tổng bằng 2 700 ? Bài 2. 12. Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng. Bài 2.13. Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Bài 2.14. Vào năm 2020 , dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030 . D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? A. 2 1 1 2 4 ; ;0; ; ;1; .... 3 3 3 3 3   B. 15 2;12 2;9 2;6 2;.... C. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;.... 5 5 5 5 D. 1 2 3 4 3 5 ; ; 3; ; ;... 3 3 3 3 Câu 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1 1 , 2 u   công sai 1 . 2 d  Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: A. 1 1 ;0;1; ;1. 2 2  B. 1 1 1 ;0; ;0; . 2 2 2  C. 1 3 5 ;1; ;2; . 2 2 2 D. 1 1 3 ;0; ;1; . 2 2 2  Câu 3: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Câu 4: Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d  2. Tìm n. A. n 12. B. n 13. C. n 14. D. n 15. Câu 5: Biết các số 1 2 3 ; ; Cn Cn Cn theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n  3. Tìm n. A. n  5. B. n  7. C. n  9. D. n 11. Câu 6: Cho cấp số cộng un  có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; . Tìm số hạng tổng quát n u của cấp số cộng. A. 5 1. n u  n  B. 5 1. n u  n  C. 4 1. n u  n  D. 4 1. n u  n  Câu 7: Cho cấp số cộng un  có 1 u  3 và 1 . 2 d  Khẳng định nào sau đây đúng? A.   1 3 1 . 2 n u    n  B. 1 3 1. 2 n u    n  C.   1 3 1 . 2 n u    n  D.   1 3 1 . 4 n u    n  Câu 8: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 7 3 . n u   n B. 7 3 .n n u   C. 7 . 3 n u n  D. 7.3 .n n u  Câu 9: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A.  1 2 1. n n u   n  B. sin . n u n   C. 1 1 1 . 1 n n u u u        D. 1 1 1 . 2 n n u u u       Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. 4 9. n u   n  B. 2 19. n u   n  C. 2 21. n u   n  D. 2 15. n n u    Câu 11: Cho cấp số cộng un  có 1 u  5 và d  3. Mệnh đề nào sau đây đúng?