Title BT mẫu và BT tự giải chương 11.pdf ✅

CHƯƠNG 11 – MOMEN ĐỘNG LƯỢNG BÀI TẬP MẪU 1. Cho hai vector trong mặt phẳng Oxy A⃗ = 2î+ 3ĵ và B⃗⃗ = −î+ 2ĵ. Tìm A⃗ × B⃗⃗ và chứng tỏ A⃗ × B⃗⃗ = −B⃗⃗ × A⃗. Giải Áp dụng công thức nhân hai vec-tơ ta tính được: A⃗ × B⃗⃗ = | 3 0 2 0 | î+ | 0 2 0 −1 |ĵ+ | 2 3 −1 2 | k̂ = 0î+ 0ĵ+ 7k̂ = 7k̂ Tương tự ở trên ta có: B⃗⃗ × A⃗ = | 2 0 3 0 | î+ | 0 −1 0 2 |ĵ+ | −1 2 2 3 | k̂ = 0î+ 0ĵ− 7k̂ = −7k̂ Vậy A⃗ × B⃗⃗ = −B⃗⃗ × A⃗ 2. Cho lực F⃗ = (2î+ 3ĵ) N được tác dụng vào một chất điểm chuyển động quanh một trục quay cố định dọc theo trục Oz . Lực này được tác dụng ở vị trí r⃗ = (4î+ 5ĵ)m. Tìm vec-tơ moment lực tác dụng vào chất điểm. Giải Áp dụng công thức nhân hai vec-tơ ta tính được vec-tơ momen lực: τ⃗ = r⃗ × F⃗ = | 5 0 3 0 |î+ | 0 4 0 2 |ĵ+ | 4 5 2 3 | k̂ = 2k̂ (N. m) 3. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng xy theo đường tròn bán kính r như trong. Tìm độ lớn và hướng của moment động lượng của nó so với trục qua O khi vận tốc của nó là v⃗. Giải: Độ lớn của moment động lượng L⃗⃗: L = mvr sin 9 0 0 = mvr Áp dụng quy tắc bàn tay phải ta xác định được L⃗⃗ có phương vuông góc với mặt phẳng giấy (mặt phẳng chứa quỹ đạo tròn), chiều hướng ra khỏi mặt phẳng giấy. Nhận xét: Động lượng p⃗ = mv⃗ luôn thay đổi nhưng giá trị của moment động lượng L là hằng số và cả hướng của momen động lượng cũng không đổi. Như vậy, một chất điểm chuyển động tròn đều có momen động lượng quay quanh một trục đi xuyên qua tâm đường đi của nó là một hằng số. 4. Cho m1 và m2 được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không giãn vắt qua ròng rọc như hình. Ròng rọc có khối lượng M và bán kính R, các nan hoa có khối lượng không đáng kể. Mặt phẳng ngang không có ma sát. Sử dụng các công thức về momen lực và momen động lượng để tìm biểu thức gia tốc của hai vật và gia tốc góc của ròng rọc. Giải Momen động lượng của vật m1, m2 và ròng rọc đối với trục quay qua tâm ròng rọc đều cùng phương vuông góc với mặt giấy, chiều hướng ra nên ta tính được độ lớn tổng momen động lượng của hệ: L = m1vR + m2vR + MvR = (m1 + m2 + M)vR → dL dt = (m1 + m2 + M)R dv dt = (m1 + m2 + M)R. a (1) Tổng momen ngoại lực tác dụng vào hệ: ∑τext = m1gR (2) Mà ta có ∑ τext = dL dt , từ (1) và (2) ta suy ra gia tốc của hai vật: a = m1gR (m1 + m2 + M)R = m1g m1 + m2 + M
Gia tốc góc của ròng rọc: α = a R = m1g (m1 + m2 + M)R 5. Một người cha có khối lượng mf và người con gái có khối lượng md ngồi 2 đầu đối diện của bập bênh với khoảng cách như nhau tình từ tâm của trục quay. Bập bênh được mô hình hóa như một thanh cứng có khối lượng M và chiều dài l xoay không ma sát quanh trục. Tại một thời điểm nhất định hệ quay quanh trục cố định với tốc độ góc ω. Tìm biểu thức (a) độ lớn moment động lượng của hệ và (b) độ lớn gia tốc góc của hệ khi bập bênh tạo với phương ngang một góc θ. Giải: (a) Tổng momen quán tính của hệ quanh trục Oz đi qua O là: I = 1 12 Ml 2 + mf ( l 2 ) 2 + md ( l 2 ) 2 = l 2 4 ( M 3 + mf + md) Momen động lượng của hệ: L = Iω = l 2 4 ( M 3 + mf + md) ω (b) Momen lực do trọng lực của người cha tác dụng có độ lớn τf = mfg l 2 cos θ, hướng theo chiều dương Oz (hướng ra khỏi mặt giấy). Momen lực do trọng lực của người con tác dụng có độ lớn τd = mdg l 2 cos θ, hướng theo chiều âm Oz. Do τf > τd nên tổng momen ngoại lực tác dụng lên bập bênh là: ∑τext = τf − τd Từ PTĐLH trong chuyển động quay ta tính được gia tốc góc của bập bênh: α = ∑ τext I = 2(mf − md)g cos θ l ( M 3 + mf + md) 6. Một đĩa tròn có khối lượng M = 100 kg và bán kính R = 2 m quay tự do không ma sát quanh trục đi qua tâm đĩa như hình. Một học sinh có khối lượng m = 60 kg đi chậm từ mép đĩa vào tới tâm đĩa. Nếu tốc độ góc của hệ là 2 rad/s khi học sinh từ mép đĩa thì tốc độ góc của học sinh này khi ở một điểm cách tâm đĩa một đoạn r = 0,5 m là bao nhiêu? Giải Đặt momen quán tính của đĩa là Ip và momen quán tính của học sinh là Is ta có: Momen quán tính ban đầu của hệ: Ii = Ipi + Isi = 1 2 MR 2 + mR 2 Momen quán tính lúc sau của hệ: If = Ipf + Isf = 1 2 MR 2 + mr 2 Khi di chuyển từ mép đến điểm cách tâm một đoạn r, tổng momen ngoại lực tác dụng lên hệ (học sinh + đĩa tròn) bằng 0 nên momen động lượng bảo toàn. Li = Lf ⇔ Iiωi = Ifωf ⇔ ( 1 2 MR 2 + mR 2) ωi = ( 1 2 MR 2 + mr 2) ωf → ωf = 1 2 MR 2 + mR 2 1 2 MR2 + mr 2 ωi = 1 2 . 100. 2 2 + 60. 2 2 1 2 . 100. 2 2 + 60.0, 5 2 . 2 = 4,1 ( rad s )