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SMA3 ANALYSE 4 TDs+CORRECTION 20-21 FSSM MARRAKECH https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire طلب الدروس الكتب السالسل+ تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE CHIMIE MATH : INFORMATIQUE اتقدم بالشكر لجميع االساتذة الكرام و طلبة كلية العلوم ومختلف المدارس العليا على ارسال سالسل التمارين مع التصحيح لمشاركتها مع جميع المتعلمين و مع االجيال القادمة Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25
Universit ́e Cadi Ayyad Ann ́ee Universitaire 2020-2021 Facult ́e des Sciences D ́epartement de Math ́ematiques Semlalia, Marrakech Fili`ere : Math ́ematiques-SMA-S3 Module d’Analyse IV S ́erie no1 Exercice 1. Etudier la convergence des int ́egrales g ́en ́eralis ́ees suivantes `a partir de la d ́efinition et les calculer ́eventuellement 1) Z π/2 0 tg(t) dt 2) Z +∞ a dt t(t + λ) , (a > 0 , λ > 0) 3) Z 1 0 ln(t) (1 + t) 2 dt 4) Z −1 −∞ Arctg 1 t dt 5) Z b a dt p (t − a)(b − t) , (a < b) 6) Z +∞ 0 t 2 e −t dt. Exercice 2. En utilisant le crit`ere de Cauchy, montrer que l’int ́egrale g ́en ́eralis ́ee Z +∞ 1 cos(x) √x dx est convergente. Exercice 3. Pour tout n ∈ N ∗ , on pose In = Z +∞ 0 dx (1 + x2) n . 1) Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , In est convergente. 2) D ́eterminer la relation de r ́ecurrence entre In et In−1, pour tout n ≥ 2. 3) En d ́eduire l’expression de In en fonction de n, pour tout n ≥ 2. Exercice 4. On consid`ere l’int ́egrale g ́en ́eralis ́ee Iα = Z +∞ 1 sin(x) xα dx , o`u α ∈ R. 1) Etudier la convergence de I0. 2) Montrer que si α > 1, alors Iα est absolument convergente. 3) Montrer que Iα est semi-convergente pour 0 < α ≤ 1. 4) Montrer que Iα est divergente pour α < 0. Exercice 5. ( Int ́egrale de Bertrand ) Pour tous α, β ∈ R, on consid`ere l’int ́egrale g ́en ́eralis ́ee Iα,β = Z +∞ 2 dx xα(ln(x))β . Montrer que Iα,β est convergente si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1). Pr. My Hicham LALAOUI RHALI 1/4
Exercice 6. En utilisant les crit`eres de convergence, ́etudier la nature des int ́egrales g ́en ́eralis ́ees suivantes 1) Z +∞ 1 e Arctg(x) x3 dx 2) Z +∞ 0 x a dx (1 + xb) 4 , ( a ∈ R, b > 0) 3) Z +∞ 1 1 x e 1/x − cos 1 x dx 4) Z 1 0 √x ln(1 + x) sin 1 x dx 5) Z +∞ 0 ln(1 + x 2 ) cos(x) x5/2 dx 6) Z +∞ 0 x sin(4x) 1 + x2 dx. Exercice 7. Soit f : R + −→ R une fonction continue telle que lim x−→+∞ f(x) = l et soient λ un r ́eel strictement sup ́erieur `a 1 et s, t deux r ́eels quelconques v ́erifiant t > s > 0. 1) Montrer que Z t s f(λx) − f(x) x dx = Z λt t f(x) x dx − Z λs s f(x) x dx. 2) En utilisant la premi`ere formule de la moyenne, montrer qu’il existe deux points αt ∈ [t, λt] et βs ∈ [s, λs] tels que Z t s f(λx) − f(x) x dx = ( f(αt ) − f(βs) ) ln(λ). 3) En d ́eduire que Z +∞ 0 f(λx) − f(x) x dx est convergente et d ́eterminer sa valeur. 4) Application : Montrer que l’int ́egrale g ́en ́eralis ́ee Z +∞ 0 Arctg(2x) − Arctg(x) x dx est convergente et la calculer. Exercice 8. ( Contrˆole final-2019-2020 ) Pour tout x ∈ R, on pose Γ(x) = Z +∞ 0 t x−1 e −t dt. 1) Montrer que Γ(x) est convergente si et seulement si x > 0. 2) Montrer que pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). 3) En d ́eduire la valeur de Γ(n), pour tout n ∈ N ∗ . Pr. My Hicham LALAOUI RHALI 2/4 2
Exercices de r ́evision Exercice 9. Soient a ∈ R et f une fonction localement int ́egrable sur [a, +∞[ . 1) On suppose que lim x−→+∞ f(x) = l. Montrer que si Z +∞ a f(x) dx est convergente, alors l = 0. 2) Donner un exemple de fonction f telle que Z +∞ a f(x) dx converge sans que lim x−→+∞ f(x) existe. Exercice 10. Soit f : R + −→ R une fonction de classe C2 telle que les int ́egrales Z +∞ 0 f 2 (x) dx et Z +∞ 0 f 002 (x) dx soient convergentes. Montrer que Z +∞ 0 f 02 (x) dx est convergente. Exercice 11. Pour tout r ́eel λ > 0, on pose I(λ) = Z +∞ 0 dx (1 + x2)(1 + xλ) . 1) Montrer que I(λ) est convergente pour tout λ > 0 . 2) Montrer que I(λ) = Z +∞ 0 x λ dx (1 + x2)(1 + xλ) . 3) En d ́eduire la valeur de I(λ). Exercice 12. Soit f : [a, +∞[−→ R une fonction continue telle Z +∞ a f(x) dx soit convergente. Montrer que pour tout β > 0, Z +∞ a f(x) xβ dx est convergente. Exercice 13. Soit f : [0, +∞[−→ R une fonction positive et d ́ecroissante et telle que l’int ́egrale g ́en ́eralis ́ee Z +∞ 0 f(x) dx soit convergente. Montrer que f(x) = o 1 x lorsque x tend vers +∞. Pr. My Hicham LALAOUI RHALI 3/4 3