Title Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 Tỉnh Vĩnh Phúc 2009-2010 (Toán Không Chuyên) [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( 2) 3 2 0         y xy x y x y x Câu 2 (2,5 điểm). Giải bất phương trình: 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0 x x x x     . Câu 3 (1,5 điểm). Cho a là một số thực. Xét hai tập hơp:̣ A x y x y x y a     ( , ) | , ,  và   3 3 B x y x y x y a     ( , ) | , , . Tìm tất cả các giá trị của a để A và B không có phần tử chung. Câu 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC không đều với ba cạnh BC a AC b AB c    ; ; . Gọi O và G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ABC; S và R theo thứ tự là diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 a b c R OG     9( ). b) Giả sử 2 a S A  4 .cot . Chứng minh rằng AG vuông góc với OG. Câu 5 (1 điểm). Cho ba số thưc dương ̣ a,b,c thoả mãn điều kiện 1 1 1 1 a b b c c a 1 1 1          Chứng minh rằng a b c ab bc ca      . ---------------------Hết----------------------- Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ...................................................SBD: .....................

HDC Toán HSG lớp10 THPT năm học 2009-2010 2 Câu 3 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm A B    với mỗi x y,  thoả mãn x y a   thì 3 3 x y a   Điều này tương đương với 3 3 x a x a x      ( ) 0,25 Hay 2 2 3 3 3 0 (1) ax a x a a x       0,25 Nếu a=0 thì (1) đúng với mọi x 0,25 Nếu a  0 : (1) đúng với mọi x khi và chỉ khi: 4 3 2 4 3 0 0 2 9 12 ( ) 0 4 0 a a a a a a a a a                   0,5 Vậy các giá trị cần tìm của a là: a =0 hoặc a  2. 0,25 Câu 4 (2,5 điểm). Nội dung trình bày Điểm a) (1 điểm). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3OG OA OB OC    0,25 Suy ra 2 2 2 9 ( ) 3 2( . . . ) OG OA OB OC R OAOB OB OC OAOC        0.25 Mà 2 2 2 2 2 2 . 2 2      OA OB AB R c OAOB , tương tự với hai hệ thức còn lại 0.25 Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 a b c R OG     9( ) 0,25 b) (1,5 điểm). Ta có 2 sin S bc A  , từ 2 a S A  4 .cot suy ra 2 a bc A  2 .cos Sử dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được 2 2 2 b c a   2 (1). 0.5 Gọi M là trung điểm của BC thì 2 2 2 2 2 4 2 2 9 9 b c a AG AM     . 0,25 Theo phần a) thì 2 2 2 2 2 2 9     b c a OG R . 0,25 Do đó 2 2 2 2 2 2 2 9 b c a AG OG R      (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 AG OG R OA    . Từ đó AG OG  (đpcm). 0,25
HDC Toán HSG lớp10 THPT năm học 2009-2010 3 Câu 5 (1 điểm): Nội dung trình bày Điểm Từ giả thiết, ta có: 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 a b b c c a 1 1 1             hay 2 1 1 1 a b b c c a a b b c c a             0,25 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b a b b c b c c a c a                (1) 0,25 Áp dung BĐT Svacxơ, ta có ̣ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b a b b c b c c a c a               2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) abc a b b c c a a b c            (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 4( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2( ) abc a b b c c a a b c            2 2 2 2             2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) a b c a b b c c a a b c       ab bc ca a b c (đpcm). Dấu bằng khi và chỉ khi abc   1. 0,25 ---------------------- Hết -----------------------