Title Chương 5_Bài 1_ _Đề bài_Toán 12_CTST.pdf ✅

CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU. BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Hoạt động khởi động trang 32 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, làm thế nào để xác định một mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ? Lời giải Trong không gian Oxyz, để xác định một mặt phẳng ta cần biết được 1 điểm mà đường thẳng đó đi và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. ❶. VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) . Nếu vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với ( ) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của ( ) . Nếu hai vectơ ab, không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (  ) thì ab, được gọi là căp vectơ chi phurơng của ( ) . Chú ý: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) thì kn k(  0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ( ) . Ví du 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     . a) Tìm một cặp vectơ chi phương của mặt phẳng ( ABCD). b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD). Lời giải
a) Vì AB và AD không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng ( ABCD) nên AB AD , là một cặp vectơ chỉ phương của ( ABCD). b) Vì AA ABCD  ⊥ ( ) nên AA là một vectơ pháp tuyến của ( ABCD). Thực hành 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điếm A B C (3;0;0 , 0;4;0 , 0;0;5 ) ( ) ( ) . a) Tìm tọa độ của một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). b) Tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB). Lời giải a) AB AC = − = − ( 3;4;0 , 3;0;5 ) ( ) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). b) Ta có: (OAB Oxy )  ( ) mà Oz Oxy ⊥ ( ) . Do đó k = (0;0;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) . Vận dụng 1: Một lăng kính có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều ở Hình 3a được vẽ lại như Hình 3 b . Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC   ) . Lời giải A B A C     , là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ABC    ). Vì B A B C    (  ) nên BB là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC   ) . ❷. XÁC ĐỊNH VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG KHI BIẾT MỘT CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG Định Nghĩa:
Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng ( ) nhận hai vectơ a a a a b b b b = = ( 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; ) ( ) làm cặp vectơ chỉ phương thì ( ) nhận vectơ n a b a b a b a b a b a b = − − − ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; ) làm vectơ pháp tuyến. Chú ý: Vectơ n a b a b a b a b a b a b = − − − ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; ) được gọi là tích có huớng của hai vectơ a a a a b b b b = = ( 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; ) ( ) . Tích có hướng của hai vectơ ab, kí hiệu là   ,   a b . Biểu thức a b a b 1 2 2 1 − thường được kí hiệu là 1 2 1 2 a a b b . Tương tự, 2 3 2 3 3 2 2 3 = − a a a b a b b b , 3 1 3 1 1 3 3 1 = − a a a b a b b b . Như vậy, ta có thể viết: 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ;     =       a a a a a a a b b b b b b b a và b cùng phương  =   , 0   a b . Ví du 2: Cho mặt phẳng (P) nhận a b = = (1;2;3 , 4;1;5 ) ( ) làm cặp vectơ chi phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (P) . Lời giải Ta có tích có hướng của hai vectơ ab, là   , 2.5 3.1;3.4 1.5;1.1 2.4 7;7; 7 = − − − = − ( ) ( )   a b Do đó, mặt phẳng (P) nhận ( ) 1 , 1;1; 1 7 = = −     n a b làm một vectơ pháp tuyến. Thực hành 2: Cho mặt phẳng (Q) đi qua ba điếm A B C (1;1;1 , 1;1;5 , 10;7; 1 ) (− − ) ( ) . Tìm cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của (Q ). Lời giải Ta có: AB AC = − = − ( 2;0;4 , 9;6; 2 ) ( ) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q). Có ( ) 0 4 4 2 2 0 , ; ; 24;32; 12 6 2 2 9 9 6   − −   = = − −     − −   AB AC Do đó mặt phẳng (Q) nhận ( ) 1 , 6;8; 3 4 = = − −     n AB AC làm một vectơ pháp tuyến.
Vận dụng 2: Cho biết hai vectơ a b = = − (2;1;1 , 1; 2;0 ) ( ) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm vectơ n có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thằng đồ một vuông góc). Lời giải Ta có ( ) 1 1 1 2 2 1 , ; ; 2;1; 5 2 0 0 1 1 2     = = −     − −   a b . Vậy = = −   , 2;1; 5 ( )   n a b có giá song song với ngón cái. ❸. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG a) khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , phương trình có dạng Ax By Cz D + + + = 0 , trong đó A B C , , không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: Cho mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát là: Ax By Cz D + + + = 0 . Khi đó: Mặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n A B C = ( ; ; ) . N x y z Ax By Cz D ( 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 )  + + + = ( ) . Mỗi phương trình Ax By Cz D + + + = 0 (trong đó A B C , , không đồng thời bằng 0 ) đều là: phương trình của một mặt phẳng xác định. Ví du 3: Cho hai mặt phẳng (P Q ),( ) có phương trình tổng quát là: (P x y z Q x y ): 3 5 7 5 0 và : 2 0 − + + = + − = ( ) a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phằng (P Q ),( ). b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm: A B (1;3;1 , 1;2;3 ) ( ) . Lời giải a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: n = − (3; 5;7) . Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: ( ) ' n = 1;1;0 . b) Thay toạ độ điểm A vào phương trình của (P) , ta được: 3 1 5 3 7 1 5 0  −  +  + = Vậy A thuộc (P) .