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CÁLCULOINTEGRAL 3ERCICLO Líderes en asesorías universitarias para la PUCP MODALIDAD Presencial y virtual UBICACIÓN Av. Universitaria 1875 MATERIAL DECLASE PRACTICA1 ACADEMIA ELIPSE 945 357 742 COMUNÍCATE CON NOSOTROS AL:
ElipseAsesorias 945 357 742 elipse_asesorias COMUNÍCATE CON NOSOTROS AL Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (PRIMER PISO) ACADEMIA ELIPSE INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN: Una partición P del intervalo [a, b] es un conjunto de finito de números que verifican: P = {a = x0, x1, x2, ... , xk, ... , xn−1, xn = b } NOTA: Decimos que la partición P es regular cuando: ∆x = xk − xk−1 = b − a n , ∀ k ∈ {1,2, ... , n} DEFINICIÓN: Una función f definida en el intervalo [a, b] se dice que es acotada, cuando existen dos números reales m y M que verifican: m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a, b] DEFINICION: Sea una función f acotada en el intervalo [a, b], definimos la integral definida de f sobre [a, b] de la siguiente manera: ∫ f(x)dx b a = limn→∞∑f(xk)∆x n k=1 Si dicho límite existe diremos que la función f es integrable sobre el intervalo [a, b]. TEOREMAS SOBRE INTEGRABILIDAD:  Si f es integrable sobre [a, b] ↔ f es integrable sobre ]a, b[.  Si f es continua sobre ]a, b[ entonces, f es integrable sobre ]a, b[.  Si f es derivable sobre ]a, b[ entonces, f es integrable sobre ]a, b[. Ejemplo Consideremos la función f(x) = { 1, x ∈ [0, 1] ∩ Q 2, x ∈ [0, 1] ∩ I Podemos observar que f es acotada pues, 1 ≤ f(x) ≤ 2 pero no integrable. Para mostrar lo último consideremos las siguientes particiones del intervalo [0, 1] y supongamos que la función es integrable: P1 = {0, 1 n , 2 n , ... , n−1 n , 1}, cuyos elementos son racionales I1 = ∫ f(x)dx b a = limn→∞∑f(xk)∆x n k=1 = limn→∞∑1 ( 1 n ) n k=1 = 1 P2 = {0, √2 2n , 2√2 2n , ... , (n−1)√2 2n , 1}, de elementos irracionales I2 = ∫ f(x)dx b a = limn→∞∑f(xk)∆x n k=1 I2 = limn→∞ [∑f(xk)∆x n−1 k=1 + f(xn )(xn − xn−1)] I2 = limn→∞ [∑2 ( √2 2n ) n−1 k=1 +2(1 − (n − 1)√2 2n ] I2 = limn→∞ [ √2(n − 1) n +2(1 − (n − 1)√2 2n ] I2 = √2 + 2 − √2 = 2 Como los límites son diferentes, este no existe; por lo tanto la función no es integrable. 1
ElipseAsesorias 945 357 742 elipse_asesorias COMUNÍCATE CON NOSOTROS AL Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (PRIMER PISO) ACADEMIA ELIPSE PC1 1) PC1 (22-2) a) Exprese el siguiente límite: como la integral definida de una función en el intervalo de [2,5] b) Halle Usando sumas de Riemann 2) PC1 (22-2) Dada la función a) Justifique que se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio para integrales, para la función f en [-5,6] b) Calcule ∫ f(x)dx 6 −5 , usando área de regiones conocidas o suma de Riemann c) Determine el valor donde se cumple el teorema de valor medio para integrales 3) PC1 (22-2) a) Demuestre que la función f definida por: tiene máximo relativo b) Sea f una función continua en R tal que ∫ f(t)dt = 3 1 0 , y sea g definida por: Calcule la pendiente de la recta tangente a la grafica de g’ en el punto (1, g’(1)) 4) PC1 (22-2) a) Demuestre que b) Analice la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación, justificando su respuesta. Si ∫ f(x)dx ≥ 0, entonces f(x) ≥ 0 para todo x ∈ b a [a, b] 5) PC1 (22-1) Exprese el siguiente límite Como una integral definida en un intervalo cerrado 6) PC1 (22-1) Analice la verdad o falsedad de la siguiente proposición: La función: Es integrable en [-4,6]. Justifique su respuesta. 7) PC1 (22-1) Pruebe que: b) Analice la verdad o falsedad de la siguiente proposición 2
ElipseAsesorias 945 357 742 elipse_asesorias COMUNÍCATE CON NOSOTROS AL Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (PRIMER PISO) ACADEMIA ELIPSE Sea: a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica G en el punto (1,G(1)) b) Calcule F’(2) si se sabe que: 9) PC1 (22-1) Dada la función: Justifique que se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio para las integrales en [-1,8] b) Determine los valores del dominio de f que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio para integrales [-1,8] 8) PC1 (22-1) 8) PC1 (22-1) 3 limn→+∞∑ ln(n + k)− ln(n) n + k n k=1 f(x) = { 2− √4 −(x + 2) 2, si − 4 ≤ x ≤ 0 x 2 −x − 2, si x < x ≤ 3 a) Justifique analiticamente (no graficamente) la integrabilidad de f en [−4,3] b) Usando areas de regione sconocidas, o bien sumas de Riemann, calcule ∫ f(x)dx 3 −4 x cos(x), cuya grafica se muestra a continuacion: Demuestre la desigualdad ∫ f(x)dx ≤ √2πe π/4 4 π/2 0 −af(c) = ∫ f(x)dx 0 a b) Calcule c en terminos de a. 5) PC1 2023-1 Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique sus respuestas. a) Si la funcion |f| es integrable en [a, b], entonces la funcion f es integrable en [a, b]. b) Si f y g son funciones continuas en [0,1], y ademas cada una alcanza su valor promedio en c = 1 2 entonces (f − g) es continua en [0,1] y alcanza su valor promedio en c = 1 2 . 11) PC1 2023-1 Exprese Como la integral definida por una funcion en el intervalo [1,2] 12) PC1 2023-1 Sea f:[−4,3] → R definida por 13) PC1 2023-1 Sea f: R → R definida por f(x) =e 14) PC1 2023-1 Considere la funcion f: R → R definida por f(x) = 4x − 3, y una constante a < 0. a) Pruebe la existencia de c ∈ [a, 0] tal que