Title Chủ đề 5. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A. LÝ THUYẾT I. Các công thức cần nhớ (1). 1 dx 1 dx ln x a C ln ax b C x a ax b a            (2). 2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a       (3). 2 2 2 2 1 1 x 1 1 u dx arctan C du arctan C x a a a u a a a          II. Nguyên hàm dạng     P x dx I Q x   ! "# phép chia & ' ta có: *+" &,- là / 01 +21 1$3           P x P' x g x . Q x Q x    Dạng 1: Px dx I ax b    Phân tích: khi &(     P x k g x ax b ax b       dx I g x dx k ax b       Dạng 2: 2 mx n I dx ax bx c       Trường hợp 1: 2   b  4ac  0 Phân tích:    2 1 2 1 2 mx n mx m 1 A B ax bx c a x x x x a x x x x                  :;<1 = # &> tìm A, B).  1 2  1 I Aln x x Bln x x C. a        Trường hợp 2: 2   b  4ac  0           0 2 2 2 2 0 0 0 0 mx n mx n m x x p m P a.x bx c a x x a x x a x x a x x                Trường hợp 3: 2   b  4ac  0 Phân tích:     2 2 2 0 mx n k 2ax b p ax bx c ax bx c a x x q           Khi &(     2 2 2 2 0 kd ax bx c p 1 I dx ax bx c a x x n            Dạng 3: D"     P x dx I Q x     3 2 Q x  ax  bx  cx  d
 Trường hợp 1:     3 2 1 2 3 ax  bx  cx  d  a x  x x  x x  x Phân tích:   3 2 1 2 3 P x A B C ax bx cx d x x x x x x          Trường hợp 2:    2 3 2 1 2 ax  bx  cx  d  a x  x x  x Phân tích:     3 2 2 1 2 P x A Bx C ax bx cx d x x x x          Trường hợp 3:    trong &( vô 1"#3 3 2 2 1 ax  bx  cx  d  a x  x mx  nx  p 2 mx  nx  p  0 Phân tích:   3 2 2 1 P x A Bx C ax bx cx d x x mx nx p           Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: trong &( P(x) G 4.   4 2 P x dx I x a    Trường hợp 1:   4 2 P x dx I x a    Phân tích:       2 2 3 4 2 4 2 P x A x a B x a Cx Dx x a x a         Khi &( ta có: 2 2 1 4 2 2 2 1 2 2 2 a a 1 d x x a x du x I dx dx I x a a a u 2a x x 2a x x                              2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 a a 1 d x x a x du x I dx dx I x a a a u 2a x x 2a x x                                4 2 3 4 2 3 4 2 4 2 x dx 1 d x a 1 I ln x a C x a 4 x a 4             2 4 4 2 4 2 4 2 2 xdx 1 d x 1 du I I . x a 2 x a 2 u a           HI &( suy ra nguyên hàm   4 2 P x dx I x a     Trường hợp 2:   4 2 P x dx I x a    Phân tích:     3 2 4 2 4 2 P x Ax Bx Cx D x a x a       Khi &( xét:     4 2 2 3 1 4 2 4 2 4 2 1 2 2 Ax Bx A d x a B d x A du B dv I dx I x a 4 x a 2 x a 4 u 2 v a                 
Phân tích :;<1 = tìm M, N). 2 2 4 2 2 2 Cx D M N I dx dx x a x a x a                 Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: K/ nguyên hàm M N khi Q(x) là & ' 6.     1 6 3 3 3 3 dx dx 1 1 1 I x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1                      2 2 6 3 2 3 2 xdx 1 dx 1 du I I x 1 2 2 u 1 x 1              3 2 3 6 6 3 2 x dx 1 d x 1 du I I x 1 3 x 1 3 u 1              2 2 3 4 6 6 4 3 x dx 1 x d x 1 udu I I x 1 2 x 1 2 u 1                   4 2 2 4 5 6 2 4 2 2 4 2 6 x dx x x 1 x 1 2 dx dx dx I dx 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1                        Q"     2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 K dx dx dx x x 1 2 x x 1 2 x x 1 2 x x 1                      2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 d x d x 1 x 1 x 1 x 1 x dx dx 2 1 2 1 2 1 2 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x x x x                                             2 2 1 du 1 dv K 2 u 3 2 v 1        B. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm các hàm sau: A. B. C. D. 1 4 I dx 2x 1    2 x 1 I dx x 1     3 2x 1 I dx 3 4x     2 4 x x 4 I x 3      Lời giải a)   1 4 4 d 2x 1 I dx 2ln 2x 1 C 2x 1 2 2x 1          b) 2 x 1 x 1 2 2 dx I dx dx 1 dx dx 2 x 2ln x 1 C. x 1 x 1 x 1 x 1                             c)     3 1 5 3 4x 2x 1 1 5 1 5 dx 2 2 I dx dx dx x 3 4x 3 4x 2 2 3 4x 2 2 3 4x                             3 1 5 d 3 4x 1 5 1 5 x x ln 3 4x C I x ln 3 4x C 2 8 3 4x 2 8 2 8                  d)     2 2 4 x x 4 10 d x 3 x I x 2 dx x 2 dx 10 2x 10ln x 3 C. x 3 x 3 x 3 2                             Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm các hàm sau: