Title 3.PP CONG THUC TINH GOCTRONG KG-hs.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 1 CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1-CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng   1 2 , tương ứng có u a b c 1 1 1 1 = ( ; ; ) và u a b c 2 2 2 2 = ( ; ; ) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 + +   = = = + + + + . cos , cos . . . u u a a b b c c u u u u a b c a b c 2-CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz , cho đ̛ường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A B C = ( ; ; ) . Khi đó: ( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin Δ, cos , . + + = = + +  + + aA bB cC P u n a b c A B C 3-CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P P 1 2 ),( ) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là n A B C 1 1 1 1 = ( ; ; ) và n A B C 2 2 2 2 = ( ; ; ) . Khi đó, ta có: (( ) ( )) ( ) 1 2 1 2 cos , cos . P P n n = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 + + = = + + + + . . . n n A A B B C C n n A B C A B C
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 2 B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1-Dạng 1:Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp Góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d có véctơ chỉ phương 1 1 1 1 u a b c = ( ; ; ) và 2 2 2 2 u a b c = ( ; ; ). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos( , ) cos . . u u a a b b c c d d u u a b c a b c  + + = = = + + + + với 0 90 .      Ví dụ 1: Cho 2 đường thẳng 1 1 : 1 4 3 x y z d + = = − và 2 1 2 : 1 4 3 x y z d + + = = − − . Tìm góc giữa 1 d và 2 d Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng 1 : 5 2 14 3 x t d y t z t  =   = −   = − và 2 1 4 : 2 1 5 x t d y t z t  = −   = +   = − + . Tìm góc giữa 1 d và 2 d Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 5 2 14 3 : x t d y t z t  =   = −  = −  và 2 1 4 2 1 5 : x t d y t z t  = −    = +   = − +   . Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho. Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , tính góc tạo bởi trục Oz và đường thẳng 1 5 2  = +   = −  =  : x t d y t z t Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5: Cho 4 điểm A B C (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1) và D( 2;1; 1) − − . Tìm góc giữa 2 đường thẳng AB và CD Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 3 Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng 1 1 : 2 2 x t d y t z t  = − +   = −  = +  và 2 2 : 1 2 2 x t d y t z mt  = +   = +  = +  . Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai đường thẳng 1 d và 2 d bằng 60 .o Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P x y z ): 4 7 25 0 = + + = và đường thẳng 1 1 1 : 1 2 1 x y z d + − = = − . Gọi 1 d ' là hình chiếu vuông góc của 1 d lên mặt phẳng (P) . Đường thẳng 2 d nằm trên (P) tạo với 1 1 d d, ' các góc bằng nhau, 2 d có vectơ chỉ phương u a b c 2 ( ; ; ) . Tính a b2 c + . Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 8.Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ABCD ⊥ ( ). Cho biết AB a AD a = = 2 3 , và SA a = 2 . Cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2-Dạng 2:Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ( ; ; ) d u a b c = và mặt phẳng ( ) P có véctơ pháp tuyến ( ) ( ; ; ) P n A B C = được xác định bởi công thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) . sin cos( ; ) . d P P d d P u n aA bB cC n u u n a b c A B C  + + = = = + + + + với 0 90 .      Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 3 3 4 1 2 1 : x z − + y − = = − và mặt phẳng (P x y z ): 2 1 0 + + − = . Tính góc giữa và (P) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , tính góc tạo bởi trục Oz và mặt phẳng (P) : x y z − + + = 2 2 0 . Lời giải
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): − + + = 3 1 0 x y . Tính góc tạo bởi ( ) P với trục Ox ? Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2 1 0 x y z − + + = và đường thẳng 1 : . 1 2 1 x y z −  = = − Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( )  Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5: Cho đường thẳng 1 1 : 3 4 5 x y z d − − = = và mặt phẳng ( ) : 2 1 0. P x my mz + + − = Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho 60 .o  = Tính tổng các phần tử của tập hợp S Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC O B C . ' ' ' với O B C O (0;0;0), (3;0;0), (0;2;0), '(0;0;4) a) Tính góc  giữa đường thẳng BO' và BC' b) Tính góc  giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (O BC ' ) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3-Dạng 3:Tính góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ 1 2 3 a a a a = ( ; ; ) và 1 2 3 b b b b = ( ; ; ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù. 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( ; ) . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b + + = = + + + + với 0 180 .      Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ) : 0 P A x B y C z D + + + = và 2 2 2 2 ( ) : 0. Q A x B y C z D + + + =