Title Bài 6_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a b x y , , , , - Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là | | AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điẻ̉m cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4). Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5). a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ( ABC) ? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a. Lời giải a) Có ba vectơ là AB AC , và AD .
b) Trong ba vectơ AB AC , và AD chỉ có hai vecto AB và AC có giá nằm trong mặt phẳng ( ABC). c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên AB AC AD = = =1 Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a = . - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA BB , , gọi là các vectơ-không. - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC A B C     (H2.8). a) Trong ba vectơ BC CC ,  và BB , vectơ nào bằng vectơ AA ? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M sao cho MM AA   = . Lời giải a) Hai đường thẳng AA và BC chéo nhau nên hai vectơ AA và BC không cùng phương. Do đó, hai vectơ AA và BC không bằng nhau. Tứ giác ACC A  là hình bình hành nên AA CC   / / và AA CC   = . Hai vectơ AA và CC có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.
Tương tự, hai vectơ AA và BB có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ AA và BB không bằng nhau. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC  . Vì tứ giác BCC B  là hình bình hành nên MM BB   // và MM BB   = . Hình lăng trụ ABC A B C     có AA BB   // và AA BB   = , suy ra MM AA   // và MM AA   = . Hai vectơ MM  và AA có cùng độ dài và cùng hướng nên MM AA   = . Vậy trung điểm của cạnh BC  là điểm M cần tìm. 2. TỔNG VÀ HIỊ ̂UU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B , C sao cho AB a BC b = = , . Khi đó, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu là a b + . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: - Nếu A B C , , là ba điểm bất kì thì AB BC AC + = ; - Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC + = . Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD A B C D      có độ dài mỗi cạnh bằng 1 ( 2.12) H . Tính độ dài của vectơ BC DD +  . Lời giải Tứ giác ABCD là hình vuông nên BC AD = . Do đó BC DD AD DD AD + = + =    . Tứ giác ADD A  là hình vuông nên 2 2 AD AD DD   = + = 2 , suy ra BC DD + = 2 .
Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: Nếu a và b là hai vectơ bất kì thì a b b a + = + . - Tính chất kết hợp: Nếu a b, và c là ba vectơ bất ki thì ( ) ( ) a b c a b c + + = + + . - Tính chất cộng với vectơ 0 : Nếu a là một vectơ bất kì thì a a a + = + = 0 0 . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a b, và c là a b c + + mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng AC BD AD BC + = + . Lời giải Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có AC AD DC = + . Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vectơ trong không gian, ta được: AC BD AD DC BD AD DC BD + = + + = + + ( ) ( ) = + + = + AD BD DC AD BC ( ) . Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCD A B C D      . Khi đó, ta có AB AD AA AC + + =  . Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD A B C D H      ( .2.14) . Chứng minh rằng BC DC AA AC + + =  . Lời giải