Title Chủ đề 6 - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ.doc ✅

Trang 1/41 Chủ đề 6. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Trong việc chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị của một biểu thức, vận dụng phương pháp dồn biến để khảo sát hàm số là một chủ đề rất được nhiều bạn học sinh tham gia các kỳ thi chọn HSG và kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm. Để có thể dồn một biểu thức nhiều biến về một biến chúng ta có nhiều kỹ thuật, tuy nhiên trong nội dung của chủ đề chúng tôi chỉ giới thiệu một số kỹ thuật quan trọng, thường gặp và sắp xếp theo sự phổ biến của các kỹ thuật đó gồm: - Vận dụng các bất đẳng thức kinh điển. - Kết hợp kỹ thuật đổi biến số. - Kết hợp kỹ thuật sắp thứ tự các biến. - Phương pháp tiếp tuyến. - Khảo sát hàm nhiều biến. - Kết hợp với việc sử dụng bổ đề. - Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển.  Bài toán 1 . Cho các số thực ,,0;1:111abcabcabc . Chứng minh rằng  2223 4abc . Phân tích. Khai triển đẳng thức ở giả thiết cho ta: 2222114abcabcabc Để ý là : 3 3AMGM abc abc     . Từ đó ta quy việc giải bài toán bất đẳng thức về bài toán khảo sát hàm số theo biến ,0;3.tabct Lời giải. Ta có 1abcabcabbccaabc 12abcabbccaabc   2 222 223 222 12 2 4 11411 27 abcabc abcabc abcabcabcabcabc    Đặt 0;3tabct . Xét hàm số 32422 27Ftttt Ta có 2 3 4 '2202 9 3 t Fttt t       . Lập bảng biến thiên ta có: 33 24MinFtF    Vậy 2223 . 4abc Dấu "" xảy ra khi 1 . 2abc  Bài toán 2. Cho các số thực dương ,,xyz thỏa mãn 2 24xzxyyzz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 222 xyz P yzxzxyz     Lời giải. Ta có


Trang 4/41 Khảo sát hàm số ta được GTNN của P bằng 3 2 đạt được khi 0,,0abcb .  Bài toán 8. Cho các số thực ,,abc là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 222bcabc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  3 22226 3 cb bca P aabc   Lời giải. Từ giả thiết ta có   222232 2 22 23 bcbcc cbcbc aabcb bc abbc         Nên     2233 6262222 2323abcbcaa P aabc a cbabacbc      3 63 2323 8 a bcbcbcbc  Đặt 1 ,0tt bc  . Khảo sát hàm số 332,0 8ftttt Ta tìm được  0; 416 39Maxftf      Hay 163 max. 98Pabc  Bài toán 9. Cho các số thực ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 223xyzxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 16  xyx P yzxz y z Lời giải. Ta có 2223yzxyxzyxxyz Suy ra 22 33 ()()4 2()(2)2 () 161616          xyxyxy yzxzxyzxyxyxyxy xyxyxyxy zz Do đó  4 216   y xy P x Đặt ,0.txyt Khảo sát hàm số 4,0; 216  t tt tf Ta được  0; 7 min6. 8ftf Hay 37 min 89    xy P z  Bài toán 10. Cho các số thực ,,xyz là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2223zyxyyzxzx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 1 22  x P xyyzyz Lời giải. Ta có 222233zyxyyzzxxzxxyyz