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Práctica de principios Ejercicio Se desea colocar 3 bolas enumeradas del 1 al 3 en 5 cajas etiquetadas con las letras a, e, i, o, u. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer esto? ¿Cuál sería la respuesta si toda caja debe tener máximo una bola? RESPUESTA Debemos enfocar nuestra mente en la decisión que debemos tomar. Hay que ponernos en la posición de quien toma la decisión y pensar los pasos que hay que tomar para completar la tarea. Cada vez que tomas una pelota, debes decidir en qué caja la vas a colocar, por lo tanto, al tomar la primera pelota tienes 5 opciones disponibles. Para la segunda pelota tienes otras 5 opciones porque puedes apilar bolas. Para la tercera pelota tienes otras 5 opciones por lo mismo. Entonces, la cantidad de posibles formas de colocar las pelotas es de 5 3 ¿Cuál sería la respuesta si toda caja debe tener máximo una bola? Ahora bien, si tuviéramos la restricción de colocar máximo una apelota por cada caja, entonces al escoger una caja, ya no podríamos volverla a escoger. Por lo tanto, para la primera pelota tenemos 5 opciones, para la segunda tenemos 4 opciones y para la tercera tenemos 3 opciones. En total 5 × 4 × 3 = 5 3− 1 a e i o u 2 3
Permutaciones circulares: Este es un ejercicio sumamente importante en la materia de Discretas I, se trata de buscar la cantidad de maneras distintas que hay de ordenar n elementos en una circunferencia, tomando en cuenta que no queremos considerar las rotaciones. Es decir, las rotaciones simplemente cuentan por uno. De modo que esta rotación solo valdría por uno. Respondamos la pregunta: Es sencillo darse cuenta que estamos teniendo que quitar casos a cada permutación, pues por cada permutación de elementos que consigamos, tendremos que quitar las rotaciones. Entonces, vamos a enfocar nuestro desarrollo en función de ambos aspectos. 1. Hallar la cantidad de permutaciones totales. 2. Dividir las rotaciones por principio del pastor. Entonces es claro que por Principio Fundamental tenemos que la cantidad de formas que hay de colocar los elementos es de n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ... (2)(1) = n! Sin embargo, debemos quitar la cantidad de formas que hay de rotar cada una de estas. 1 2 3 4 5 ≡ 2 3 4 5 1 n n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 n − 5 2 1 . . .
Basta con fijarnos en un solo elemento para ver cuántas rotaciones hay por cada orden. .... La notación que usamos es la siguiente Así, es evidente que por cada permutación que consiga, hay n rotaciones que no deseo considerar. Por lo tanto, por Principio del Pastor concluyo que la cantidad total de maneras que hay de ordenar n elementos circularmente es: n! n = (n − 1)! Esquema del pastor: n 1 n 1 Elemento que movemos Número de la rotación n 4 n 2 n 3 n n− 1 n n Permutaciones Permutaciones sin rotaciones A B |A| = n! |B| = n! n = (n − 1)! n n n n f f
Ejercicio Hay 4 hombres y 6 mujeres. Cada hombre se casa con una de las mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer esto? RESPUESTA: Nuevamente hay que jugar el papel de ser quien toma las decisiones Hombres Mujeres Si nos ponemos en el rol del destino y debemos elegir quién va con quién, sabemos que cada hombre debe tener una mujer y que van a haber dos mujeres que se queden sin hombre, así que lo mejor es decidir qué mujer le corresponde a cada hombre. Para el primer hombre hay 6 opciones. Para el segundo hombre hay 5 opciones. Si seguimos en esa línea, llegaremos a que tenemos solo 6 4− = 6(5)(4)(3) maneras de hacerlo por Principio Fundamental.