Title Chủ đề 7. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm hình thang cong Cho hàm liên y  f (x) không trên . Hình a;b ! "# $ % &' hàm , y  f (x) hoành và hai ,- x  a, x  b ,. / là hình thang cong. 2. Tích phân là gì? 0% 1'2 Cho là hàm f (x) liên trên . a;b 3 4 5 là F(x) 6 nguyên hàm &' trên f (x) . a;b 9 F b  F a ,. / là tích phân : a ; b (hay tích phân xác % trên a;b) &' hàm , kí f (x) 9 là .   b a f x dx  Ta còn dùng kí 9   C D 9 b a F x F b  F a EF7         b b a a f x dx F x  F b  F a  Ta / là tích phân, a là F ,! b là F trên, là " C G ,! tích phân và là b a f  x dx f (x) hàm ,! tích phân.  Chú ý: Trong ,- . a  b H , ta quy a  b ,! ;   0  a a f x dx     b a a b f x dx   f x dx    Nhận xét: Tích phân &' hàm f : a ; b có C kí 9 "# hay . Tích phân   b a f x dx    b a f t dt  K D 6 vào và các f F a, b mà không 6 vào " ; x hay t. @G là:       b b b a a a f x dx  f t dt  f u du     Ý nghĩa hình học của tích phân L; hàm liên f (x) và không âm trên , thì tích phân là a;b   9 tích S &' hình b a f x dx  thang cong ! "# $ % &' , f (x) Ox và hai ,- . x  a, x  b EF7   b a S  f x dx  - Tính chất 1:     (+! k là M ) b b a a kf x dx  k f x dx   - Tính chất 2:         b b b a a a  f x  g x  dx  f x dx  g x dx    
- Tính chất 3:         b c b a a c f x dx  f x dx  f x dx a  c  b    Chú ý: N# 6 &' tính 3.           1 2 1 1 2 ... ... n b c c b n a a c c f x dx  f x dx  f x dx  f x dx a  c  c   c  b     II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Tích các tích phân sau: A. B. C. D. 1 2 0 I  x 2  x dx  2 2 2 1  3 1    x x I dx x x   1 3 1 0 x I x e dx     2 0 sin 1 cos    x I dx x Lời giải a)         1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 3 I    x d  x    x d  x    x     1 3 2 0 1 2 2 1 2 3 3 x      b)   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 5 1 ln 1 ln 3                         d x x x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x x x x x c)   1 1 2 3 1 2 3 1 0 0 1 1 2 3 2 3 3 x x x e e I x e dx e                 d)   2 2 2 0 0 0 sin d cos ln 1 cos ln 2 1 cos 1 cos               x x I dx x x x Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: A. B. 2 1 3 dx I x x       ln 2 2 0 1 x x I  e e  dx  C. D. 3 2 0 I  x x 1dx    3 2 0 I  3x x  x 16 dx  Lời giải a)      2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 x x dx dx x x I dx x x x x x x                         2 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 5 5 2 2 7 3 3 9 9 9 x d x x dx x x                  
b)         ln 2 3 ln 2 ln 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 3 3 x x x x x e I e e dx e d e           c)       3 3 1 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 7 1 1 1 . 1 2 2 3 3 I  x x  dx  x  d x   x     d)     3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 0 0 0 0 I 3x x x 16 dx 3x dx 3 x x 16dx x x 16 88.                    Ví dụ 3: W ; M , trong K . 3 2 2 ln 2 ln 3 1 x dx a b x     a,b Tính giá % &' " C G S  4ab  a  b A. S  5 B. S  6 C. D. 5 2 S  7 2 S  Lời giải Ta có   2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 8 3 1 2 ln 1 ln ln 2 ln 3 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 a d x x dx x x x b                    Suy ra . Chọn A. 3 3 1 4. 5 4 2 2 S     Ví dụ 4: W ; là F  x 6 nguyên hàm &' hàm trên f  x và a;b 3F a  2  3F b Tính tích phân   b a I  f x dx  A. I  2 B. I  2 C. D. 2 3 I  2 3 I   Lời giải Ta có:             2 3 2 3 3 2 3 F a F b F b F a F b F a               Do K .       Chọn D. 2 3 b a I  f x dx  F b  F a    Ví dụ 5: Cho các tích phân . Tính     2 5 3 3 f x dx 2; f t dt 4         5 2 f y dy  A. I  2 B. I  6 C. I  2 D. I  6 Lời giải Ta có: (tích phân không         6 vào " ; ) 2 2 5 5 3 3 3 3 f x dx f y dy 2; f t dt f y dy 4            
[ có: .       Chọn A. 2 5 5 3 2 3 f y dy f y dy f y dy I 4 2 2            Ví dụ 6: Cho hàm có y  f  x hàm trên và 1;2; f 1  1 f 2  3 Tính tích phân   2 1 I  2x  f  x  dx   A. I  5 B. I  4 C. D. 11 2 I  I  7 Lời giải Ta có: .       Chọn D. 2 2 2 2 1 1 1 I  2xdx  f  x dx  x  f 2  f 1  3 4  7   Ví dụ 7: Cho . Tính   2 0 f x dx 5      2 0 I f x 2sin x dx       A. I  7 B. 5 C. D. 2 I    I  3 I  5  Lời giải Ta có .       Chọn A. 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 I f x 2sin x dx f x dx 2 sin xdx f x dx 2cos x 7                    Ví dụ 8: Cho tích phân và . Tính   2 1 f x dx 2      2 1 g x dx 1         2 1 I x 2 f x 3g x dx          A. B. C. D. 5 2 I  7 2 I  17 2 I  11 2 I  Lời giải Ta có         2 2 2 2 1 1 1 1 I x 2 f x 3g x dx xdx 2 f x dx 3 g x dx                     . Chọn C. 2 2 1 1 17 2.2 3. 1 2 4 3 2 2 2 x           Ví dụ 9: W ; trong K a, b là hai nguyên ,\ và là phân 4 1 2 0 3 1 3ln 6 9 6 x a c dx x x b       a b ] % nào sau =7 là ^ _ A. a  b  2c B. a  b  4c C. a  b  5c D. a  b  c Lời giải Ta có:     1 1 1 2 2 0 0 0 3 1 3 10 10 4 5 3 3ln 3 3ln 6 9 3 3 3 3 6 x dx d x x x x x x x                              