Title Toán thực tế 12_Chuyên đề 7_ _Lời giải.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số yfx xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số Fx xác định trên K sao cho 'Fxfx thì Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K. Định lí 1. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số GxFxC cũng là một nguyên hàm của hàm số fx trên K. Định lí 2. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng GxFxC với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất của nguyên hàm: 'fxdxfxC với C là hằng số. kfxdxkfxdx với k là hằng số khác 0. fxgxfxdxfxdxgxdx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân của fx là 'dfxfxdx Với u là một hàm số 0dxC  0duC dxxC  duuC 111 1xdxxC     111 1uduuC     1 lndxxC x  1 lnduuC u  xx edxeC  uuedueC ln x xa adxC a  ln u ua adxC a  cossinxdxxC  cossinuduuC sincosxdxxC  sincosuuduC 2 1 tan cosdxxC x  2 1 tan cosduuC u  2 1 cot sindxxC x  2 1 cot sinduuC u  3. Ứng dụng nguyên hàm trong bài toán chuyển động  Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là
s v t  Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.  Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t)  Đạo hàm của quãng đường là vận tốc stvt  Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường stvtdt  Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)  Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc vtat  Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc vtatdt B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc 3/vms thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số at có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất. Lời giải t(s) a 15 90 O
 Đường thẳng atmtn đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(16;90) nên suy ra .0006 .15906 mnn att mnm     .  Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc at chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có công thức vận tốc v(t) được tính theo công thức 263vtatdttdttC  Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như 0t và vận tốc lúc đó là 3m/sv . Suy ra 22033.03333vCCvtt .  Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là 2153.153678v (m/s). Câu 2: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn ( đơn vị tính: triệu người ) của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số 21,21844,72709,1fttt với t là năm (t = 0 ứng với năm 1970 ). Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người. a. Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ. b. Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?  Phân tích bài toán  Ở đây ta hiểu rằng năm 1970 ứng với 0t và năm 2005 ứng với 35t .  Hàm số 21,21844,72709,1fttt biểu thị cho tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn vào năm thứ t. Suy ra nguyên hàm của ft là hàm số Ft biểu thị cho số lượng cặp đôi kết hôn vào năm thứ t.  Dựa vào điều này ta tìm ra mô hình Ft với điều kiện 3559513F .  Từ mô hình Ft ta có thể tính được số lượng cặp đôi kết hôn vào năm bất kì trong khoảng từ năm 1970 đến 2005. Lời giải a. Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm của ft 2321,21844,721,21844,72709,1709,1 32FtttdttttC 320,40622,36709,1tttC  Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có 3235595130,406.3522,36.35709,1.355951344678,25FCC  Vậy một mô hình cần tìm là 320,40622,36709,144678,25Ftttt b. Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là 4265097,138F triệu người
Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ thì vào năm 2012 tổng số các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ khoảng 61,047 triệu người. So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhận được. Câu 3: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số  2 1000 ,0 10,3 Btt t   , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.  Phân tích bài toán  Để biết được sau bao nhiêu ngày phải thay nước mới cho hồ bơi thì ta cần xác định sau bao nghiêu ngày thì số lượng vi khuẩn phát triển đến 3000 con trên mỗi ml nước. Như vậy ta phải xác định hàm số B(t) biểu thị cho số lượng phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t.  Ta biết rằng tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số  2 1000 10,3 Bt t   . Suy ra nguyên hàm của Bt là hàm số B(t) biểu thị cho số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t.  Khi đó, kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn lúc đầu B(0) = 500 con, ta tìm được một mô hình B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t.  Từ đây ta có thể tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm tùy ý và xác định được người bơi có an toàn hay không? Có nên thay nước cho hồ bơi hay không? Lời giải  Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t).    2 2 10001000 100010,3 0,310,3 10,3 BtdttdtC t t     .  Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên   100011500 0500500 30,310,3.0BCC  .  Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là   100011500 30,310,3Bt t  .  Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người bơi không an toàn khi   100011500 30003000 30,310,3Bt t   10002500 10,3410 30,310,3tt t  .  Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay nước mới.