Title Chương 6_Bài 20_Định lý Viet và ứng dụng_Đề bài.pdf ✅

BÀI 20. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH LÍ VIÈTE Ta có định lí Viète như sau: Nếu 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0) thì 1 2 1 2 b x x a c x x a  + = −    =  Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính biệt thức  (hoặc  ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau: a) 2 2 11 7 0 x x + + = ; b) 2 4 12 9 0 x x − + = . Lời giải a) Ta có: 2  = −   =  11 4 2 7 65 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 11 7 ; 2 2 x x x x + = − = b) Ta có: 2  = −  =  6 4 9 0 nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau 1 2 x x, . Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 12 9 3; . 4 4 x x x x − + = − = = 2. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VIÈTE ĐỂ TÍNH NHẨM NGHIỆM Xét phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0). - Nếu abc + + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x =1 , còn nghiệm kia là 2 c x a = . - Nếu a b c − + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x = −1 , còn nghiệm kia là 2 c x a = − Ví dụ 2. Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau: a) 2 x x − + = 6 5 0 ; b) 2 5 14 9 0 x x + + = . Lời giải a) Ta có: abc + + = + − + = 1 ( 6) 5 0 nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = = 1, 5 . b) Ta có: a b c − + = − + = 5 14 9 0 nên phương trình có hai nghiệm: 1 2 9 1, 5 x x = − = − . Ví dụ 3. Giải phương trình 2 x x − + = 7 12 0 , biết phương trình có một nghiệm là 1 x = 3. Lời giải Gọi 2 x là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: 1 2 x x =12 .
Do đó, 2 1 12 12 4 3 x x === . Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 2 x x = = 3, 4 . 3. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2 x Sx P − + = 0 Điều kiện để có hai số đó là 2 S P −  4 0 . Ví dụ 4: Tìm hai số biết tởng của chúng bằng 9 , tích của chúng bẳng 20. Lời giải Hai số cẩn tìm là hai nghiệm của phương trình 2 x x − + = 9 20 0 . Ta có: 2  = − −   =  = ( 9) 4 1 20 1; 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm: 1 2 9 1 9 1 4; 5 2 2 x x − + − − − − . Vậy hai số cần tìm là 4 và 5 . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 6.23. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) 2 x x − + = 12 8 0 ; b) 2 2 11 5 0 x x + − = ; c) 2 3 10 0 x − = ; d) 2 x x −+=3 0. 6.24. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 2 2 9 7 0 x x − + = ; b) 2 3 11 8 0 x x + + = ; c) 2 7 15 2 0 x x − + = , biết phương trình có một nghiệm 1 x = 2 . 6.25. Tìm hai số u và v , biết: a) u v uv + = = 20, 99 ; b) u v uv + = = 2, 15. 6.26. Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm là 1 x và 2 x thì đa thức 2 ax bx c + + phân tích được thành nhân tử như sau: ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 x x + + 11 18 b) 2 3 5 2 x x + − . 6.27. Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 2 500 m và chu vi là 150 m . Tính các kích thước của bể bơi này.
C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số 1. Phương pháp giải Tính  và chứng tỏ  0 để phương trình có nghiệm. Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = 2. Ví dụ Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...): a) 2 1 2 1 2 2 – 17 1 0; ; ; . ; x x x x x x + =  =  + =  =  2 1 2 1 2 b x x x x x x )5 35 0; ; ; . ; − − =   =  + = =  2 1 2 1 2 c x x x x x x )8 1 0; ; ; . ; − + =   =  + = =  2 1 2 1 2 d x x x x x x )25 1 0; ; ; . . +10 + =   =  + = =  Ví dụ 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: 2 2 2 2 4 2 – 5 0; 9 – 12 4 0; 5 2 0; 1 59 – 2 – 1 0. ) ) ) ) x x x x x x x x + = + = + + = = a b c d Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. ( ) 2 2 2 a b ) ) – 2 0; 2 – 1 0. x x m x m x m + = + + = Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm 1. Phương pháp giải Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = Nhẩm: 1 2 1 2 S x x m n P x x m n = + = + = = ; . . . thì phương trình có nghiệm 1 2 x m x n = = ; . Nếu abc + + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = = Nếu a b c − + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = − = − 2. Ví dụ Ví dụ 1. Dùng điều kiện abc 0 + + = hoặc a b c – 0 + = để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: 2 a x x ) 35 – 37 2 0; + = 2 b x x ) 7 500 – 507 0; + = 2 c x x ) – 49 – 50 0; = 2 d x x ) 4321 21 – 4300 0 + = Ví dụ 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
2 2 a x x b x x ) 7 12 0 ) 7 12 0 − + = + + = . Ví dụ 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 1,5 2 1,6 0,1 0 x x − + = ( ) 2 b x x ) 3 1 3 1 0 − − − = ( ) ( ) 2 c x x ) 2 3 2 3 2 3 0; − + − + = ( ) ( ) 2 d m x m x m ) 1 2 3 4 0 − − + + + = với m 1. Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. 1. Phương pháp giải Từ hệ thức cho trước của x y, tìm tổng S x y = + , tích P x y = . . x y, là hai nghiệm của phương trình 2 X SX P − + = 0. 2. Ví dụ Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: 32, . 231; 8; . 105; 2; . 9. ) ) ) u v u v u v u v u v u v + = = + = − = − + = = a b c Ví dụ 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a u v u v ) 42, . 441 + = = b u v u v ) 42; . 400 + = − = − c u v u v ) 5; . 24 − = = Dạng 4. Phân tích 2 ax bx c + + thành nhân tử 1. Phương pháp giải Nếu phương trình 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm 1 2 x x ; thì ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − 2. Ví dụ Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) 2 2 5 3 x x − + ; b) 2 3 8 2 x x + + . Ví dụ 2. Rút gọn phân thức: 2 2 9 8 2 3 1 x x P x x − + = − + Ví dụ 3. Rút gọn phân thức: 1 5 6 x P x x − = − + Dạng 5. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó 1. Phương pháp giải Tính tổng hai nghiệm 1 2 S x x = + và tích hai nghiệm P x x = +1 2 . Phương trình có hai nghiệm 1 2 x x ; là 2 X SX P − + = 0 . 2. Ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số sau: