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SMA (S5) SÈrie 1 Module : Calcul di§Èrentiel A.U. : 2020/2021 Exercice 1. On considËre les trois applications de R 3 dans R donnÈes par : N1 = jxj + jyj + jzj N2 = p x 2 + y 2 + z 2 N1 = max (jxj ; jyj ; jzj) 1. VÈriÖer que les applications N1, N2 et N1 dÈÖnissent des normes sur R 3 : 2. Montrer que les trois normes N1, N2 et N1 sont Èquivalentes. Exercice 2. Soient a < b deux nombres rÈels ÖxÈs, on considËre C ([a; b] ; R) líespace vectoriel des fonctions continues sur líintervalle [a; b] ‡ valeurs dans R, et pour toute f 2 C ([a; b] ; R) on pose : kfk1 = sup t2[a;b] jf (t)j : Montrer que k:k1 : C ([a; b] ; R) ! R + est une norme. Exercice 3. On considËre C ([0; 1] ; R) líespace vectoriel des fonctions continues sur líintervalle [0; 1] ‡ valeurs dans R, et pour toute fonction continue f : [0; 1] ! R on pose : kfk1 = Z 1 0 jf (t)j dt ; kfk2 = sZ 1 0 jf (t)j 2 dt et sup t2[0;1] jf (t)j : Montrer que ces trois applications C ([0; 1] ; R) ! R + sont des normes. Exercice 4. Montrer que les expressions suivantes : 1. d1 ((x; y; z) ; (x 0 ; y0 ; z0 )) = N1 (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) = jx x 0 j + jy y 0 j + jz z 0 j : 2. d1 ((x; y; z) ; (x 0 ; y0 ; z0 )) = N1 (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) = max (jx x 0 j ; jy y 0 j ; jz z 0 j): 3. d2 ((x; y; z) ; (x 0 ; y0 ; z0 )) = N2 (x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) = q (x x 0) 2 + (y y 0) 2 + (z z 0) 2 : 1
dÈÖnissent des distances sur R 3 : Exercice 5. Soit (E; d) un espace mÈtrique, et pour tous x; y 2 E on pose : d 0 (x; y) = d (x; y) 1 + d (x; y) 1. Montrer que si trois nombres a > 0; b > 0 et c > 0 vÈriÖent a 6 b + c alors on a líinÈgalitÈ : a 1 + a 6 b 1 + b + c 1 + c : 2. En dÈduire que d 0 est une distance sur E: 3. Les distances d et d 0 sont-elles Èquivalentes ? 2
SMA (S5) SÈrie 2 Module : Calcul di§Èrentiel A.U. : 2020/2021 Exercice 1. On considËre E = C ([0; 1] ; R) líespace vectoriel des fonctions continues sur líintervalle [0; 1] ‡ valeurs dans R, et on considËre pour f 2 E : kfk1 = sup t2[0;1] jf (t)j et kfk1 = Z 1 0 jf (t)j dt: 1) VÈriÖer que kfk1 et kfk1 sont deux normes sur E: 2) En utilisant la suite de fonctions fn (x) = x n ; montrer que ces deux normes ne sont pas Èquivalentes. Exercice 2. Soit E = R [X] ; líespace vectoriel des polynÙmes. Pour tout ÈlÈment P = Xn i=1 aiXi 2 E, On dÈÖnit : N1 (P) = Xn i=1 jai j ; N2 (P) = Xn i=1 jai j 2 !1 2 et N1 (P) = max i jai j : 1. VÈriÖer que N1; N2 et N1 sont des normes sur E: 2. Sont-elles Èquivalentes? Exercice 3. Calculer les dÈrivÈes partielles des fonctions suivantes : f (x; y) = ln x 2 + y 2 , g (x; y) = arctan x y et h (x; y) = xexy2 : Exercice 4. Calculer le vecteur gradient de la fonction f , ainsi que la dÈrivÈe partielle directionnelle suivant le vecteur !u : 1. f1 (x; y; z) = p x 2 + y 2 + z 2 et !u1 = a !i + b !j + c !k . 2. f2 (x; y; z) = 1 x + 2 y + 3 z et !u2 = !i + 2 !j + !k . 1
3. f3 (x; y; z) = arctan 1 x2+y 2+z 2 et !u3 = !i + !j + !k . Exercice 5. ...crire la di§Èrentielle díune application constante, et díune application linÈaire sur un EVN E. Exercice 6. Soit B une forme bilinÈaire symÈtrique. Montrer que f (x) = B (x; x) est di§Èrentiable et calculer sa di§Èrentielle. Exercice 7. On considËre E = C ([0; 1] ; R) líespace vectoriel des fonctions continues sur líintervalle [0; 1] ‡ valeurs dans R, et F le sous-espace des fonctions de classe C 1 nulles en 0. On munit E de la norme kfk1 = supt2[0;1] jf (t)j et F de kfk1 = supt2[0;1] jf 0 (t)j : Montrer que l"application : f : F ! E x 7 ! f (x) = x 0 + x 2 est de classe C 1 et donner sa di§Èrentielle en tout point. 2