Title Bài 19_ _Đề bài_Toán 10_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG  Vectơ rn khác 0 r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu giá của nó vuông góc với D . Nhận xét:  Nếu rn là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D thì ( 0) 1 r kn k cũng là vectơ pháp tuyến của D.  Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.  Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax by c + + = 0, với a và b không đồng thời bằng 0 .  Phương trình đường thẳng đi qua M x y  0 0 ;  và nhận vectơ ( ; ) rn a b là vectơ pháp tuyến có dạng a x x b y y  - + - = 0 0    0 hay 0 0 ax by ax by + - - = 0 .  Mỗi phương trình dạng ax by c + + = 0 ( a và b không đồng thời bằng 0 ) đều là phương trình tồng quát của một đường thẳng, nhận ( ; ) rn a b là vectơ pháp tuyến. 2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG  Vectơ ru khác 0 r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D . Nhận xét:  Nếu ru là vectơ chỉ phương của đường thẳng D thì ( 0) 1 r ku k cũng là vectơ chỉ phương của D.  Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.  Hai vectơ ( ; ) rn a b và ( ; ) - ru b a vuông góc với nhau nên nếu rn là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D thì ru là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.  Nếu ( ; ) rn a b là một vectơ pháp tuyến của D thì ( ; ) - ru b a và ( ; ) - rv b a là các vectơ chỉ phương của D .  Nếu ( ; ) ru a b là một vectơ chỉ phương của D thì 1( ; ) - urn b a và 2 ( ; ) - uurn b a là các vectơ pháp tuyến của D .  Đường thẳng D đi qua điểm M x y  0 0 ;  và nhận ( ; ) ru a b là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng D là 0 0 ì = + í î = + x x at y y bt B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 1. Phương pháp giải  Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm 0 0 A x y ( ; ) Î D - Một vectơ pháp tuyến n a b ( ; ) ur của D Khi đó phương trình tổng quát của D là a x x b y y ( - + - = 0 0 ) ( ) 0 Chú ý: o Đường thẳng D có phương trình tổng quát là 2 2 ax by c a b + + = + 1 0, 0 nhận n a b ( ; ) ur làm vectơ pháp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trình đường thẳng D qua điểm M x y ( 0 0 ; ) có dạng D - + - = : 0 a x x b y y ( 0 0 ) ( ) với 2 2 a b + 1 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + 0 x x = : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y y k x x - = - 0 0 ( ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng đi qua A a B b ( ;0 , 0; ) ( ) với ab 1 0 có dạng 1 x y a b + = 2. Ví dụ Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M 3;4 và có VTPT n = - 2;1 r Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng a) qua A2;0 và B0;3 . b) qua M - - 5; 8 và có hệ số góc k = -3. Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d a) qua M - - 1; 4 và song song với đường thẳng 3 5 2 0 x y + - = . b) qua N 1;1 và vuông góc với đường thẳng 2 3 7 0 x y + + = . Ví dụ 4. Một đường thẳng đi qua điểm M 5; 3-  cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết A B C (2;0 , 0;4 , (1;3) ) ( ) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB .
Ví dụ 6: Cho đường thẳng d x y : 2 3 0 - + = và điểm M (-1;2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3 b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M Ví dụ 7: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x y - = 0 và x y + - = 3 8 0 , tọa độ một đỉnh của hình bình hành là (-2;2). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. Ví dụ 8: Cho điểm M (1;4). Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất . Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng 1. Phương pháp giải:  Để viết phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định - Điểm 0 0 A x y ( ; ) Î D - Một vectơ chỉ phương u a b ( ; ) r của D Khi đó phương trình tham số của D là 0 0 , x x at t R y y bt ìï = + í Î ï = + î . Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại o Nếu D có VTCP u a b = ( ; ) r thì n b a = -( ; ) ur là một VTPT của D. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (2;1) và có VTCP u = (3;7). Ví dụ 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng d : a)Đi qua điểm M (5;1) và có hệ số góc k = 8. b)Đi qua hai điểm A(3;4) và B(4;2) . Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng: a) 2 3 – 6 0. x y + = b) y x = + –4 5. Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 2;5 và cách đều hai điểm P-1;2, Q5;4 . Ví dụ 5: Cho điểm A(1; 3 - ) và B (-2;3). Viết phương trình tham số của đường thẳng D trong mỗi trường hợp sau:
a) D đi qua A và nhận vectơ n (1;2) ur làm vectơ pháp tuyến b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB Ví dụ 6: Viết phương trình tổng quát, tham số, của đường thẳng D trong mỗi trường hợp sau: a) D đi qua điểm A(3;0) và B (1;3) b) D đi qua N (3;4) và vuông góc với đường thẳng 1 3 ' : 4 5 x t d y t ìï = - í ï = + î . Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A B (-2;1 , 2;3 ) ( ) và C (1; 5 - ). a) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của DABC . Ví dụ 8: Cho tam giác ABC biết AB x y : 1 0 + - = , AC x y : 3 0 - + = và trọng tâm G (1;2). Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh BC. Dạng 3 : Toán thực tế Ví dụ 1: Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng D ở hình vẽ bên dưới biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để tham gia một phòng thập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng). a. Viết phương trình của đường thẳng D . b. Giao điểm của đường thẳng D với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì? c. Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O A B (0;0), (1;0), (1;3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.