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R O Y A U M E DU M A R O C Royaume du MAROC Ministère de l’Education Nationale du Préscolaire et des Sports Lycée Ibn toufail Oued-zem Baccalauréat Sciences Mathématiques Série : Sciences Mathématiques A Normalise 2 Session MAI 2025 DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures NOTES DE L’ÉPREUVE : 20 POINTS CONSIGNES : — L’épreuve contient 3 exercices et un problème . — les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par l’élève. . — L’usage de la calculatrice non programmable est autorisé. — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé . — Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. — Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction. — La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée. — Certaines notations sont utilisées dans différents exercices, toutefois chaque no- tation ne concerne que l’exercice où elle est utilisée et ne dépend ni des exercices précédents ni des exercices suivants. — Si l’élève repère ce qu’il pense être une erreur de l’énoncé, il le signale sur sa copie en expliquant les raisons qui l’ont amené à le penser. Ceci ne doit pas l’empêcher de finir son épreuve et il a le choix d’adopter les rectifications qu’il croit nécessaires ou pas. Ce sujet comporte 3 exercices et un problème : • Problème : Problème d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10,00 points • Exercice 1 : Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,50 points • Exercice 2 : Arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,00 points • Exercice 3 : Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,50 points Réalisé par : Prof. Bouazza LOUKILIA Page 1/32
Prof : Bouazza LOUKILIA 2/4 2 BAC SMF Problème : (10,00 points) Pour tout n ∈ N, on considère la fonction numérique fn définie sur R ∗ par : fn(x) = e nx x 2 − 1 Soit (Cn) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie I. On prend n = 1. 1 - Déterminer lim x→+∞ f1(x) et lim x→−∞ 0.5 pt f1(x). 0.5 pt 2 - Étudier la nature des branches infinies de la courbe (C1). 3 - Déterminer f ′ 1 (x) pour tout x de R ∗ 0.5 pt , puis dresser le tableau de variations de la fonction f1. 0.5 pt 4 - Montrer que la fonction h la restriction de la fonction f1 sur l’intervalle ]0, 2] et une bijection de ]0, 2] vers un intervalle J à déterminer. 5 - Déterminer f1(1) et (h −1 ) ′ 0.5 pt (e − 1). 0.5 pt 6 - Tracer la courbe (C1). Partie II. On prend n ∈ N∗ . 0.5 pt 1 - Étudier les variation de la fonction fn sur chacun des intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[. 0.5 pt 2 - Monter que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution αn dans l’intervalle ] − ∞; 0[. 0.25 pt 3 - a) Étudier le signe de fn+1(x) − fn(x) sur l’intervalle ] − ∞; 0[. 0.25 pt b) En déduire les positions relatives de (Cn+1) et (Cn) sur l’intervalle ] − ∞; 0[. 0.5 pt c) Montrer que la suite (αn) est croissante , puis en déduire qu’elle est convergente. 4 - Déterminer lim n→+∞ 0.25 pt αn. 5 - Pour tout n de N∗ on pose : wn = Xn k=1 α 2 k k 2 0.5 pt Montrer que la suite (wn)n≥1 est croissante , puis en déduire qu’elle est convergente. (Remarquer que : (∀k ≥ 2), 1 k 2 ≤ 1 k(k − 1)). Partie III. On considère la fonction numérique F définie par :    F(x) = x Z 2x x e t t 2 dt si x ̸= 0 F(0) = 1 2 0.25 pt 1 - Montrer que la fonction F est définie sur R. 0.5 pt 2 - a) Monter que : (∀x ∈ R ∗ +), e x 2 ≤ F(x) ≤ e 2x 2 et (∀x ∈ R ∗ −), e 2x 2 ≤ F(x) ≤ e x 2 0.5 pt b) En déduire que la fonction F est continue en 0. 3 - Déterminer lim x→+∞ F(x) et lim x→−∞ 0.5 pt F(x). 0.25 pt 4 - a) Montrer que : (∀x ∈ R ∗ ), F(x) = e x − e 2x 2 + x Z 2x x e t t dt b) Montrer que la fonction F est dérivable sur R ∗ 0.5 pt et que : (∀x ∈ R ∗ ), F′ (x) = Z 2x x e t t dt Normalisé 2 Session Mai 2025 2/4 Année scolaire : 2024/2025 Page 2/32
Prof : Bouazza LOUKILIA 3/4 2 BAC SMF 0.5 pt 5 - a) Montrer que : (∀x ∈ R ∗ +), ex ln 2 ≤ Z 2x x e t t dt ≤ e 2x ln 2 et (∀x ∈ R ∗ −), e2x ln 2 ≤ Z 2x x e t t dt ≤ e x ln 2 b) En déduire limx→0 Z 2x x e t t 0.25 pt dt 0.5 pt 6 - a) Vérifier que : (∀x ∈ R ∗ ), F(x) − 1 2 = − (e x − 1)2 2 + x Z 2x x e t t dt 0.25 pt b) En déduire que la fonction F est dérivable en 0. 0.25 pt c) Dresser le tableau de variations de la fonction F. Exercice 1: (3,50 points) Partie I. On considère dans C, l’équation suivante : (E) : iz2 − (1 − i)(1 + im)z + m2 − 1 = 0, où m ∈ C − {−1; 1}. 1 - a) Vérifier que le discriminant de (E) est : ∆ = −2i(m + i) 2 0.5 pt . 0.5 pt b) En déduire l’ensemble des solutions (E). 2 - On suppose dans cette question que : m = e iθ 0.5 pt avec θ ∈] 0; π[. Écrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique. Partie II. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, ⃗u, ⃗v), On considère les points A; B; C; D et E d’affixes respectifs : zA = im ; zB = i(1 + m) ; zC = 1 − m ; zD = (zB) 2 et zE = m + (zB) 2 1 − i . 0.5 pt 1 - Déterminer l’ensemble des points M(m) tels que O, B et C soient alignés. 2 - Soit R la rotation d’angle π 2 0.5 pt tels que : R(A) = C. Montrer que l’affixe du centre Ω de la rotation R est : ω = 1 + i 2 . 3 - On suppose dans cette question que : |m| = 1 et m2 + (2 + i)m + 1 ̸= 0. 0.5 pt a) Montrer que ADE est un triangle rectangle et isocèle en E. 0.5 pt b) Montrer que les ponts O; A; D et E sont cocycliques et déterminer l’affixe du centre du cercle (Γ) circonscrit au quadrilatère formé par ces points. Exercice 2: (3,00 points) 1 - On considère dans Z 2 l’équation : (E) : 16x − 5y = 2010 a) Montrer que si (x, y) est une solution dans Z 2 0.5 pt de l’équation (E), alors, x ≡ 0[5], puis, résoudre l’équation (E). 0.5 pt b) Déterminer les solutions (x, y) de l’équation (E) vérifiant x ∧ y = 5. 2 - On considère dans Z 2 l’équation : (F) : 16x 6 − 5y 6 = 2010 0.5 pt a) Montrer que pour tout a de Z on a : a 6 ≡ 1[7] ou a 6 ≡ 0[7] Normalisé 2 Session Mai 2025 3/4 Année scolaire : 2024/2025 Page 3/32
Prof : Bouazza LOUKILIA 4/4 2 BAC SMF b) Vérifier que 7 ∧ 2010 = 1, et déduire que si (x, y) est une solution dans Z 2 0.5 pt de l’équation (F), alors : 7 ∧ y = 1 ou 7 ∧ x = 1 0.5 pt c) En déduire que si (x, y) est une solution de l’équation (F), alors : 16x 6 − 5y 6 ≡ 2[7] ou 16x 6 − 5y 6 ≡ 4[7] 0.5 pt d) Résoudre l’équation (F). Exercice 3: (3,50 points) On rappelle que (M2(R), +, ×) est un anneau unitaire, et que (M2(R), +, ·) est un espace vectoriel réel. On pose I = 1 0 0 1 ! , J =   √ 2 2 3 √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2   et E =    M(x, y) =   x + √ 2 2 y 3 √ 2 2 y − √ 2 2 y x − √ 2 2 y   /(x, y) ∈ R 2    On pose : E ∗ = E − ( 0 0 0 0 !). 0.5 pt 1 - a) Montrer que (E, +, ·) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel (M2(R), +, ·). 0.5 pt b) Montrer que la famille (I, J) est une base de l’espace vectoriel réel (E, +, ·), puis en déduire dim(E). 2 - a) Vérifier que : J 2 0.25 pt = −I. 0.25 pt b) Montrer que E est une partie stable de (M2(R), ×). 3 - On considère l’application : φ : C −→ E x + iy 7−→ M (x, y) 0.5 pt a) Montrer que φ est un isomorphisme de (C, ×) dans (E, ×), et déterminer le symétrique de chaque élément de E ∗ . 0.25 pt b) En déduire que (E, +, ×) est un corps. 4 - Résoudre l’équation : X3 = J, avec X3 0.5 pt = X × X × X. 0.5 pt 5 - a) On pose A = M(1, 1). Montrer que : (∀n ∈ N∗ ), An = 2 n 2 M cos nπ 4 ,sin nπ 4 b) En déduire une valeur de A 4048 0.25 pt . Fin du sujet et bon courage Pour tous vos renseignements et commentaires, veuillez me contacter via.... « : +212661969668 # : [email protected] Normalisé 2 Session Mai 2025 4/4 Année scolaire : 2024/2025 Page 4/32