Title Buổi 1 Ma trận và hạng của ma trận.pdf ✅

“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị” Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng Trang : 1 CHUYÊN ĐỀ: MA TRẬN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MA TRẬN 1. Ma trận là gì? - Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật, hoặc hình vuông (được gọi là ma trận vuông nếu có số dòng bằng số cột). Gọi m, n lần lượt là các số nguyên dương ứng với số hàng (dòng) và cột tương ứng. • Kí hiệu : A�×� = �i �×� • Ví dụ : A2×2 = 1 2 3 4 , A3×2 = 0 2 3 4 5 6 , I3×3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - Chúng ta thường gặp các khái niệm ma trận khác như sau : + Ma trận vuông : là ma trận có n = m ( số dòng bằng số cột ). + Ma trận đơn vị : kí hiệu là I� (n ≥ 2), là ma trận vuông có đường chéo chính là những số 1, và các phần tử còn lại là số 0. • Ví dụ : I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + Ma trận bậc thang (ma trận tam giác) : là ma trận sau khi qua phép biến đổi tạo thành những bậc thang mang các phần tử là số 0. 2. Các thuật toán của ma trận a) Đường chéo chính, vết của ma trận và ma trận chuyển vị - Đường chéo chính của một ma trận vuông là đường nằm giữa và chia ma trận làm 2 tam giác trên và dưới. - Vết của ma trận (Trace A) là tổng đường chéo chính của ma trận vuông cấp n. • Ví dụ : A = 1 2 3 4 ⇒ Trace A = 1 + 4 = 5 TỔ HỢP TOÁN ỨNG DỤNG HCMUT ➖➖➖➖➖ TÀI LIỆU VIP LƯU HÀNH NỘI BỘ
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị” Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng Trang : 2 - Ma trận chuyển vị (� � ) là một ma trận được xếp bằng cách lấy từng hàng của ma trận A xếp vào từng cột của ma trận A. • Ví dụ : A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⇒ A T = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 b) Ma trận bậc thang - Ma trận dạng bậc thang (hay còn gọi là ma trận bậc thang) là linh hồn của môn Đại Số Tuyến Tính. Đây là nền tảng cốt lõi nhất để chúng ta học tốt môn này. • Ví dụ về ma trận dạng bậc thang : A = 1 2 1 0 1 0 0 0 0 , D = 1 2 3 0 1 0 , G = 1 2 3 0 4 8 0 0 0 4 9 1
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị” Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng Trang : 3 c) Ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng - Ma trận đối xứng là ma trận thỏa mãn điều kiện : A = A T - Ma trận phản đối xứng là ma trận thỏa mãn điều kiện : A T = A −1 (Ma trận nghịch đảo) 3. Các dạng toán của ma trận a) Sự bằng nhau của ma trận - Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau và được ký hiệu là A = B, nếu chúng có cùng kích thước và từng phần tử ở các vị trí tương ứng đều bằng nhau. • Ví dụ : Cho ma trận A = 1 2 4 4 , B = 1 −� 4 � . tìm x và y b) Phép cộng và trừ hai ma trận - Để cộng hoặc trừ hai ma trận thì điều kiện là hai ma trận đang xét phải cùng kích thước với nhau. - Các để cộng hoặc trừ hai ma trận : Lấy từng vị trí của ma trận A cộng hoặc trừ cho từng vị trí của ma trận B. • Ví dụ : Ta có A = 1 2 3 4 và B = 2 3 4 5 . Thực hiện phép cộng và trừ hai ma trận trên. A − B = 1 − 2 2 − 3 3 − 4 4 − 5 = −1 −1 −1 −1 A + B = 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 = 3 5 7 9 c) Phép nhân của ma trận - Đối với phép của ma trận ta chia làm hai dạng toán + Nhân cho ma trận với một hằng số k ( k ≠ 0). • Ví dụ : A = 1 2 3 4 ⇒ 2.A = 2 4 6 8
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị” Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng Trang : 4 Tổng quát : A�×� × B�×� = C�×� ▸ A.B ≠ B.A ▸(A.B).C = A.(B.C) ▸ (�. �)� = � � .� � ▸ A.�� = ��.A + Nhân hai ma trận với nhau : Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau thì số cột của ma trận A bằng với số hàng của ma trận B. - Để nhân hai ma trận chúng ta sẽ sử dụng quy tắc : Hàng trước, cột sau tức là ta sẽ lấy hàng m của ma trận A nhân vô hướng với cột n của ma trận B ứng với vị trí ��×� của ma trận C. • Ví dụ : A = 1 2 3 4 , B = 1 2 3 4 5 6 C11 = 1 × 1 + 2 × 4 = 9 C12 = 1 × 2 + 2 × 5 = 12 C13 = 1 × 3 + 2 × 6 = 15 ⇒ A.B = 9 12 15 Lưu ý: d) Ma trận lũy thừa - Cho ma trận A vuông cấp n ta có định nghĩa như sau : A 0 = I, A 1 = A , A 2 = A.A ⇒ A n = A.A.A.....A.A - Bằng cách phương pháp quy nạp chúng ta có thể suy ra công thức tổng quát của A rồi suy ra ma trận A mũ n. • Các tính chất của ma trận : Cho A và B là hai ma trận, α và β là các số thực khác 0 ta có 1. A + B = B + A. 9. ��.A = A.�� = A. 2. (A + B) +C = A + (B + C). 10. A.B = 0 không suy ra được A = 0 và B = 0. 3. A + 0 = A. 11. (�. �)� = � � .� � . 4. A.(B.C) = (A.B).C 12. (� + �)� = � � + � � . 5. α.(A + B) = α.A + α.B. 13. (�. �)� = α.� � . 6. α.(β.A) = (αβ).A. 7. (α + β).A = α.A + β.A. 8. (A + B) 2 = (A + B).(A + B) = A 2 + A.B + B.A + B 2 ≠ A 2 + 2A.B + B 2 . 1. A + B = B + A. 9. ��.A = A.�� = A. 2. (A + B) +C = A + (B + C). 10. A.B = 0 không suy ra được A = 0 và B = 0. 3. A + 0 = A. 11. (�. �)� = � � .� � . 4. A.(B.C) = (A.B).C 12. (� + �)� = � � + � � . 5. α.(A + B) = α.A + α.B. 13. (�. �)� = α.� � . 6. α.(β.A) = (αβ).A. 7. (α + β).A = α.A + β.A. 8. (A + B) 2 = (A + B).(A + B) = A 2 + A.B + B.A + B 2 ≠ A 2 + 2A.B + B 2 . 9. ��.A = A.�� = A. 10. A.B = 0 không suy ra được A = 0 và B = 0 11. (�. �)� = � � .� � . 12. (� + �)� = � � + � � . 13. (�. �)� = α.� � .