Title SEMANA 8 SP1 LONGITUD DE ARCO - VOLUMEN DISCO ARANDELA.pdf ✅

CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 8 – SP1 Temario: Longitud de una curva y Volumen de sólidos de revolución Logro de la sesión: El estudiante cálcula la longitud de una curva en un intervalo dado, reconoce la región plana que genera un sólido de revolución e identifica el método que debe aplicar para hallar el volumen de dicho sólido. LONGITUD DE UNA CURVA Uno de los problemas que dieron origen a la integral fue el de calcular la longitud de una curva, dada como la gráfica de una función y f x = ( ) continua en un intervalo [ ] a b; . Para hallar la longitud de una curva en un intervalo dado se divide a la curva en varios segmentos tal como se observa en la figura adjunta. Luego se calcula la longitud de cada segmento y se suman todas las longitudes. Como puedes observar estos segmentos no cubren exactamente a la curva por lo tanto el resultado hallado es aproximado al valor de la longitud de la curva. Cuanto más segmentos haya el valor que se obtenga en la suma de longitudes será más aproximado al valor real de la longitud de la curva. CASO 1: Si la ecuación de la curva es y f x = ( ) , siendo a x b ≤ ≤ y además f x'( ) es continua. Sea L la longitud de la curva en el intervalo dado, entonces: Ejemplo: Dada la función y x x = ∈ 2sen , 0;2 [ ] π , esboce la gráfica de la función y calcule su longitud. (use calculadora) Solución: 2 2 0 L x dx u 1 (2cos ) 10,5407 π = + =  Nota: y x ' 2cos = Ejercicio 1: Halle la longitud de la curva [ ] 2 ln , 1;2 4 2 x x y x = − ∈ (use calculadora) Respuesta: 2 2 1 1 1 ( ) 1,096 2 2 x L dx u x = + − =  [ ]2 L 1 '( ) b a = + f x dx 
CE84 CÁLCULO 1 2/11 EPE INGENIERÍA CASO 2: Si la ecuación de la curva es x g y = ( ) , siendo c y d ≤ ≤ y además g y '( ) es continua. Sea L la longitud de la curva en el intervalo dado, entonces: Ejemplo: Halle la longitud de la curva x y y y = + ∈ , 1;2 [ ]. (use calculadora) Solución: 2 2 1 1 1 (1 ) 1,7322 2 L dy u y = + + =  Nota: 1 ' 1 2 x y = + Ejercicio 2: Esboce la gráfica de la curva ( ) [ ] 2 x y y = − − ∈ 2 4, 0;2 y calcule su longitud. (Use calculadora). Respuesta: 2 2 0 L dy u = + − = 1 (2 y 4) 4,646  VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Observe en la figura 1, si el área de la región encerrada por el rectángulo gira alrededor de uno de sus lados, se genera un sólido cuyo volumen está dado por 2 V r h = π Observe ahora en la figura 2, si el área de la región encerrada por el triángulo gira alrededor de uno de sus lados, se genera un sólido cuyo volumen está dado por 2 3 r h V π = Sólido de revolución: Es el sólido que se obtiene cuando una región del plano gira alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución. ¿La esfera es un sólido de revolución? Rpta: Si ¿Cómo se calcula el volumen? 3 4 3 r V π = [ ]2 L 1 '( ) d c = + g y dy 
CE84 CÁLCULO 1 3/11 EPE INGENIERÍA MÉTODO DEL DISCO (respecto al eje x) En el gráfico adjunto, sea R la región sombreada, limitada por la curva y f x = ( ) con f continua en [ ] b;a . Si la región sombreada R (Figura 1), gira alrededor del eje x, se obtiene un sólido de revolución aproximado al que se presenta en la Figura 2. El volumen de uno de los discos que se genera se determina mediante: [ ]2 ∆ = ∆ V f x x π ( ) La suma de los volúmenes de todos los discos se expresa mediante la sumatoria [ ] xf x π i ∆ = ∗ n 1i 2 ( ) , por lo tanto, el volumen V se determina con: 2 1 V lim ( ) n i n i π f x x ∗ →+∞ =   = ∆          es decir: Ejemplo: En la figura (a), la región sombreada está limitada por la curva y x = y las rectas x x y = = = 0 , 4 , 0 Dicha región gira alrededor del eje x y se genera el sólido de revolución que se observa en la figura (b) Para hallar el volumen de dicho sólido se deben seguir los siguientes pasos: Paso 1: Se describe la región sombreada R como un conjunto ordenado de puntos. R ={ } 2 ( ; ) / 0 4, 0 x y R x y x ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ Paso 2: Se grafica el elemento diferencial de volumen con sus dimensiones. Se escribe el elemento diferencia de volumen “dV” Paso 3: Se plantea la integral definida para calcular el volumen. V = 4 3 0 π π xdx u = 8  Paso 4: Se halla el valor de la integral y se calcula el volumen (redactando la respuesta de forma correcta) 3 V u = 8π 2 dV = π ( ) x dx V= 2 ( ( )) b a π f x dx 
CE84 CÁLCULO 1 4/11 EPE INGENIERÍA Ejemplo: Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x, la región acotada por la curva 2 y x = +1 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0. a. Grafique todas las ecuaciones en un mismo plano y sombree la región limitada por dichas curvas. b. Describa la región sombreada como un conjunto de puntos. { } 2 2 R x y R x y x = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ + ( , ) / 1 2; 0 1 c. Dibuje el elemento diferencial de volumen y sus elementos. Escriba el diferencial de volumen. 2 r x = +1 ( )2 2 dV x dx = + π 1 d. Plantee la integral definida que permita calcular el volumen. 2 2 2 1 V x dx = + π ( 1)  e. Calcule el volumen del sólido. 2 2 2 3 1 V x dx u = + = π ( 1) 37, 28  Ejercicio 3: Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x, la región acotada por la curva e x y = , las rectas x x − = + = 1 0 , 2 0 y el eje de abscisas. a. Grafique todas las curvas en un mismo plano y sombree la región limitada por dichas curvas. b. Describa la región sombreada. { } 2 ( , ) / 2 1;0 x R x y R x y e = ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ c. Dibuje el elemento diferencial de volumen y sus elementos. Escriba el diferencial de volumen. x r e = ( )2 x dV e dx = π −1 1 2 1 2 3 4 x y dx dx