Title DẠNG 2. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ QUY TẮC CÁC ĐIỂM.doc ✅

Trang 1 DẠNG 2: VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ QUY TẮC CÁC ĐIỂM 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.1. Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có ABBCAC Dấu “=”xảy ra  B thuộc đoạn thẳng AC. 1.2. Mở rộng: với n điểm bất kì 123;;;...;nAAAA ta có: 12233411...nnnAAAAAAAAAA 1.3. Nếu M là trung điếm của đoạn thẳng BC thì với điểm A bất kì ta có 2ABACAM , dấu “=” xảy ra  A, B, C thẳng hàng và A nằm ngoài đoạn thẳng BC (A có thể trùng B hoặc C) 2. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm cứa hai dường chéo AC và BD. M là điềm nằm trong tứ giác ABCD (M khác O). Chứng minh ràng MA + MB + MC + MD > AC + BD HƯỚNG DẢN GIẢI  Xét MAC có: MA + MC > AC (1)  Xét MBD có MB + MD >BD (2) Từ (1) và (2), ta có: MA + MB + MC + MĐ > AC + BD Bài 2. Cho tứ giác ABCD có ABBDACDC . Chứng minh rằng AB < AC. HƯỚNG DẢN GIẢI
Trang 2 Gọi O là giao điểm của AC và BD.  Xét OAB có AB < OA + OB  Xét ODC có DC < OC + OD Do đó AB + DC < OA + OC + OB + OD  AB + DC < AC + BD (1) Mà ABBDACDC (2) Từ (1) và (2) ta có: 2AB + DC + BD < 2AC + BD + DC  AB < AC Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c đường cao AH = h. Chứng minh rằng: 1 2habcabc HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi d là đường thẳng qua A và song song với BC. Gọi D là điểm đối xứng của điểm C qua dường thẳng d. Dễ thấy  ,2;90ADACbDChDCB ;
Trang 3 DCB có 90ACB theo định lí Pytago ta có 22222 4BDDCBCha 22 4BDha Ta có: BDABAD 22222222144 4habchabchbca  1 2habcabc Bài 4. Cho tứ giác ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB. BC, CD. DA. Chứng minh rằng: a) 2 db MP  b) 2 abcd MPNQ  HƯỚNG DẪN GIẢI a) Gọi I là trung điểm của AC. Ta có: 22 ADBCdb MPMIIP  Cách 1: Áp dụng câu a) ta có 2 ac NQ  Do đó 22 dbac MPNQ  2 abcd MPNQ  Cách 2:
Trang 4 Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PB ..BCPEDPcgcDEBCb Ta có: MP là đường trung bình ABE nên 2 AE MP Xét ADE có AEADDEAEdb . Suy ra: 1 2 dp MP  Chứng minh tương tự ta được: 2 2 ac NQ  Từ (1) và (2) suy ra: 2 abcd MPNQ  Nhận xét: Từ bài toán trên ta có được bài toán sau: Cho tứ giác ABCD có AB, BC, CD, DA có độ dài lần lượt là a, b, c. d. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh ràng: điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình bình hành là 2 abcd MPNQ  Bài 5. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 1. 4ABCDSMPNQABCDBCDA HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi I là trung điểm của BD. Ta có 1 2 ABCD QN  Dấu “=” xảy ra  QN đi qua trung điểm của BD. Tương tự 2 2 BCDA MP  MQ là đường trung bình của ABD 1 4AMQABDSS .Tương tự, ta có 1 4CNPCBDSS