Title BÀI 1_TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ_ĐỀ BÀI_KNTT_UPDATE.pdf ✅

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.......................................................................................2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM.....................................................................................................................2 B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA..................................................................................................................5 C. CÁC DẠNG TOÁN...............................................................................................................................................6 Dạng 1: Xét định đơn điệu của hàm số cho bởi công thức .............................................................................6 Dạng 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị............................................................................7 Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu ...................................................................................................8 Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình................................................................................................................................................9 Dạng 5: Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức................................................................................................9 Dạng 6: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị ....................................................................................10 Dạng 7: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước .................................................................12 Dạng 8: Toán thực tế .......................................................................................................................................12 D. BÀI TÂP TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN....................................................................................................13 PHẦN 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ......................................................................................................13 PHẦN 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ....................................................................................................................29 E. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ...................................................................................................................43 F. TRẢ LỜI NGẮN .................................................................................................................................................47
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y  f (x) là hàm số xác định trên K . - Hàm số y  f (x) được gọi là đồng biến trên K nếu x1 , x2  K, x1  x2  f  x1   f  x2 . - Hàm số y  f (x) được gọi là nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K, x1  x2  f  x1   f  x2  . Chú ý: - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b). Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K . Việc tim các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số. - Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị của hàm số y  f (x) | x |. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. ĐỊNH LÝ Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên khoảng K . a) Nếu f (x)  0 với mọi x K thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng K . b) Nếu f (x)  0 với mọi x K thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng K . Chú ý - Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f (x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K .
- Người ta chứng minh được rằng, nếu f (x)  0 với mọi x K thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng K . Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số 2 y  x  4x  2 . b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đ̛ơn điệu của hàm số Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y  f (x) : 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm f (x). Tìm các điểm ( 1,2, ) i x i   mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn đị̣̂u của hàm số 2 2 5 1 x x y x    . Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số 2 1 x y x   . 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm cực trị của hàm số Tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) ( a có thể là ,b có thể là ) và điểm 0 x (a;b). - Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f  x0  với mọi x x0  h; x0  h  (a;b) và 0 x  x thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại 0 x . - Nếu tồn tại số h  0 sao cho f (x)  f  x0  với mọi x x0  h; x0  h  (a;b) và 0 x  x thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại 0 x . Chú ý - Nếu hàm số y  f (x) đạt cực đại tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực đại của hàm số f (x) . Khi đó, f  x0  được gọi là giá trị cưc đại của hàm số f (x) và kí hiệu là CÐ f hay CÐ y . Điểm M0  x0 ; f  x0  được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. - Nếu hàm số y  f (x) đạt cực tiểu tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cưc tiểu của hàm số f (x) . Khi đó, f  x0  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f (x) và kí hiệu là CT f hay CT y . Điểm M0  x0 ; f  x0  được gọi là điểm cục tiểu của đồ thị hàm số. - Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. Ví dụ 5. Hình 1.8 là đồ thị của hàm số y  f (x) . Hãy tìm các cực trị của hàm số.
b) Cách tìm cực trị của hàm số ĐỊNH LÝ Giả sử hàm số y  f (x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng a; x0  và  x0 ;b. Khi đó: a) Nếu f (x)  0 với mọi xa; x0  và f (x)  0 với mọi x x0 ;b thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) . b) Nếu f (x)  0 với mọi xa; x0  và f (x)  0 với mọi x x0 ;b thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số f (x) . Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau: Chú ý. Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số y  f (x) như sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm f (x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f (x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. 3. Lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số. Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số 3 2 y  x  6x  9x  30 . Chú ý. Nếu f  x0   0 nhưng f (x) không đổi dấu khi x qua 0 x thì 0 x không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số 3 f (x)  x có 2 f (x)  3x , f (0)  0 , nhưng x  0 không phải là điểm cực trị của hàm số (H.1.10).