Title Chương 4_Bài 4_UD Hình Học Của Tích Phân_Toán 12_CD_Đề Bài.Doc.docx ✅

BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho hàm số ()yfx liên tục trên đoạn  ;ba . Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb là: d.b a Sfxx  Ví dụ 1. Cho hàm số 3yx có đồ thị như Hình 12 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3yx , trục {Ox} và hai đường thẳng 1,1xx . 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (),()yfxygx và hai đường thẳng ,xaxb Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho các hàm số (),()yfxygx liên tục trên đoạn  ;b.a . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (),()yfxygx và hai đường thẳng ,xaxb là: ()()d. b a Sfxgxx  Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số 321yxx , 33yxx và hai đường thẳng 1,3xx . Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 221151 2, 2222yxxyxx và hai đường thẳng 1,4xx .
Ví dụ 4. Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 16 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). a) Lập phương trình các parabol ()yfx và ()ygx . b) Tính diện tích của logo. c) Logo chỉ cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? II. TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH KHỐI 1. Thể tích của vật thể Trong trường hợp tổng quát (Hình 18), ta có định lí sau: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại xa và ()xbab . Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox .tại ()xaxb cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là ()Sx . Giả sử hàm số
()Sx liên tục trên  ;ba . Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức ()d. b a VSxx  Chú ý: Nếu ()SxS không đổi với mỗi [;]xab thì ()VbaS . Ví dụ 6. Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ OI→ (minh hoạ ở Hình 20). Khi đó OIh . Một mặt phẳng ()P vuông góc với trục Ox tại (0)xxh , cắt khối chóp theo hình phẳng có diện tích ()Sx . Người ta chứng minh được rằng 2 2()x SxB h . Tính thể tích khối chóp đó. Nhận xét - Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Thể tích V của khối lăng trụ đó được tính bởi công thức VBh . - Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Thể tích V của khối chóp đó được tính bởi công thức 3 Bh V . Ví dụ 7. Cô Hạnh đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô màu) vối kích thước được cho trong Hình 22. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m .
Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đổ lốp bê tông dày 15 cm và giá tiền 31 m bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó. 2. Thể tích của khối tròn xoay Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số ()yfx liên tục, không âm trên đoạn  ; ba . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành Ox và hai đường thẳng ,xaxb khi quay quanh trục Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc vối trục Ox , ta được một hình tròn có bán kính là ()fx . Ta có định lí sau (Hình 26): Cho hàm số ()yfx liên tục, không âm trên đoạn  ; ba . Hình phẳng ()H giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng 2db a Vfxx  Ví dụ 8. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()fxx , trục hoành và hai đường thẳng 1,2xx . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox . Ví dụ 9. Xét chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà ở phần mở đầu, bạn Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 32 ()0,140,871,920,85fxxxx , trục hoành và hai đường thẳng 0,3xx quay quanh trục Ox (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) (Hình 27).