Title Bài 21_ _Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 21. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình đường tròn - Phương trình của đường tròn ( ) C có tâm I a b ( ; ), bán kính R là 2 2 2 ( ) ( ) . x a y b R - + - = - Với các hằng số a b c , , thoả mãn 2 2 a b c + - > 0 , phương trình 2 2 x y ax by c + - - + = 2 2 0 là phương trình của một đường tròn có tâm I a b ( ; ) và có bán kính 2 2 R a b c = + - 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn ( ) C có tâm I a b ( ; ), bán kính R . Phương trình tiếp tuyến D của ( ) C tại M x y 0 0 0  ;  là a x x x b y y y - × - + - × - = 0 0 0 0        0 . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng phương trinh dường tron. Tìm tâm va bán kính đường tròn 1. Phương pháp giải Cách 1: + Đưa phương trình về dạng:   2 2 C x y ax by c : 2 2 0 + - - + = (1) + Xét dấu biểu thức 2 2 P a b c = + - Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn C có tâm I a b  ;  và bán kính 2 2 R a b c = + - Nếu P £ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Cách 2: Đưa phương trình về dạng: 2 2 ( ) ( ) x a y b P - + - = (2). Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a b  ;  và bán kính R P = Nếu P £ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. 2 2 a x y x y ) 2 4 9 0 + + - + = (1) 2 2 b x y x y ) 6 4 13 0 + - + + = (2) 2 2 c x y x y ) 2 2 6 4 1 0 + - - - = (3) 2 2 d x y x y ) 2 2 3 9 0 + + - + = (4) Lời giải a) Phương trình (1) có dạng 2 2 x y ax by c + - - + = 2 2 0 với a b c = - = = 1; 2; 9 Ta có 2 2 a b c + - = + - < 1 4 9 0 Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn. b) Ta có: 2 2 a b c + - = + - = 9 4 13 0 Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn. c) Ta có:     2 2 2 2 1 3 5 3 3 2 0 1 2 2 2 x y x y x y æ ö Û + - - - = Û - + - = ç ÷ è ø Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm 3 ;1 2 I æ ö ç ÷ è ø bán kính 10 2 R =
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của 2 x và 2 y khác nhau. Ví dụ 2: Cho phương trình   2 2 2 4 2 6 0 x y mx m y m + - - - + - = (1) a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m Lời giải a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi 2 2 a b c + - > 0 Với a m b m c m = = - = - ; 2 2 ; 6 ( ) Hay ( ) 2 2 2 2 4 2 6 0 5 15 10 0 1 m m m m m m m é > + - - + > Û - + > Û ê < ë b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I m m ( ;2 2 ( - )) và bán kính: 2 R m m = - + 5 15 10 Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong ( ) Cm : ( ) ( ) 2 2 2 4 1 0 x y m x m y m + + + - + + + = (2) a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn ( ) Cm luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải a) Ta có   2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 0 2 2 2 m m m a b c m æ ö æ ö + + + + + - = + - - - = > ç ÷ ç ÷ è ø è ø Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m b) Đường tròn có tâm I : 2 2 4 2 I I m x m y ì + = - ï í + ï = î suy ra 1 0 I I x y + - = Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng D + - = : 1 0 x y c) Gọi M x y  0 0 ;  là điểm cố định mà họ ( ) Cm luôn đi qua. Khi đó ta có:     2 2 0 0 0 2 4 1 0, o x y m x m y m m + + + - + + + = "   2 2 0 0 0 0 0 1 2 4 1 0, o Û - - + + + - + = " x y m x y x y m 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 0 1 2 4 1 0 0 x y x x y x y y ìï - + = ì = - Û Û í í ï + + - + = î = î hoặc 0 0 1 2 x y ì = í î = Vậy có hai điểm cố định mà họ ( ) Cm luôn đi qua với mọi m là M1 -1;0 và M2 1;2 Dạng 2: Viết phương trình đường tròn 1. Phương pháp giải Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I a b ( ; ) của đường tròn (C) + Tìm bán kính R của đường tròn (C) + Viết phương trình của (C) theo dạng 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R - + - = .
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: 2 2 x y ax by c + - - + = 2 2 0 (Hoặc 2 2 x y ax by c + + + + = 2 2 0 ). + Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. + Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: * A C IA R Î Û = ( ) * (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại A IA d I R Û = D = ( ; ) * (C ) tiếp xúc với hai đường thẳng D1 và D Û D = D = 2 1 2 d I d I R ( ; ; ) ( ) 2. Các ví dụ Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Có tâmI (1; 5 - ) và đi qua O (0;0 .) b) Nhận AB làm đường kính với A B (1;1 , 7;5 ) ( ). c) Đi qua ba điểm: M N P (- - 2;4 , 5;5 , 6; 2 ) ( ) ( ) Lời giải a) Đường tròn cần tìm có bán kính là 2 2 OI = + = 1 5 26 nên có phương trình là ( ) ( ) 2 2 x y - + + = 1 5 26 b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I (4;3) ( ) ( ) 2 2 AI = - + - = 4 1 3 1 13 Đường tròn cần tìm có đường kính làAB suy ra nó nhận I (4;3) làm tâm và bán kính R AI = = 13 nên có phương trình là ( ) ( ) 2 2 x y - + - = 4 3 13 c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: 2 2 x y ax by c + - - + = 2 2 0 . Do đường tròn đi qua ba điểm M N P , , nên ta có hệ phương trình: 4 16 4 8 0 2 25 25 10 10 0 1 36 4 12 4 0 20 a b c a a b c b a b c c ì ì ï ï + + - + = = í í + - - + = Û = ï ï + - + + = = - î î Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2 x y x y + - - - = 4 2 20 0 Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau Gọi I x y  ;  và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm Vì 2 2 2 2 IM IN IM IN IP IM IP ì = = = Û í î = nên ta có hệ                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 5 2 2 4 6 2 1 x y x y x y x y x y ì ï + + - = - + - ì = í í Û + + - = - + + î = ïî Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I (-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng D - + = : 2 7 0 x y b) (C) đi qua A(2; 1 - ) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d x y : 6 10 0 - - = và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình 1 d x y : 3 4 5 0 + + = và 2 d x y : 4 3 5 0 - - = Lời giải a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng D nên ( ) 1 4 7 2 ; 1 4 5 R d I - - - = D = = + Vậy phương trình đường tròn (C) là : ( ) ( ) 2 2 4 1 2 5 x y + + - = b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I R R ( ;- ) trong đó R là bán kính đường tròn (C). Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 6 5 0 5 R R IA R R R R R R é = = Û = - + - + Û - + = Û ê = ë Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: ( ) ( ) 2 2 x y - + + = 1 1 1 và ( ) ( ) 2 2 x y - + + = 5 5 25 c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K a a (6 10; + ) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với 1 2 d d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra 3(6 10) 4 5 4(6 10) 3 5 5 5 a a a a + + + + - - = Û 0 22 35 21 35 70 43 a a a a é = ê + = + Û - = ë - Với a = 0 thì K (10;0) và R = 7 suy ra ( ) ( ) 2 2 C x y : 10 49 - + = - Với 70 43 a - = thì 10 70 ; 43 43 K æ ö ç - ÷ è ø và 7 43 R = suy ra ( ) 2 2 2 10 70 7 : 43 43 43 C x y æ ö æ ö æ ö ç ç ç - + + = ÷ ÷ ÷ è ø è ø è ø Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là ( ) ( ) 2 2 C x y : 10 49 - + = và ( ) 2 2 2 10 70 7 : 43 43 43 C x y æ ö æ ö æ ö ç ç ç - + + = ÷ ÷ ÷ è ø è ø è ø Ví dụ 3: Cho hai điểm A8;0 và B0;6. a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I 4;3 và Bán kính     2 2 R IA = = - + - = 8 4 0 3 5 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:     2 2 x y - + - = 4 3 25