Title 2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.pdf ✅

गणित अध्याय- 2: प्रतिलोम तिकोणममिीय फलन
(1) 02 प्रतिलोम त्रिकोणममिीय फलन परिभाषा (Definition) किसी फलन िा प्रतिलोम फलन (inverse function) उस फलन िो िहिेहैंजो मूल फलन द्वारा कियेगयेपररवितन िो बदलिर मूल रूप मेंला दे। किसी फलन ƒ मेंx रखनेपर पररणाम y ममलिा हैिो ƒ िे प्रतिलोम फलन मेंy रखनेपर पररणाम x ममलेगा, अर्ाति्ƒ(x)=y और g(y) =x िो फलन ƒ िर्ा g एि-दूसरेिे प्रतिलोम फलन हैं। हम जानिेहैंकि फलन f : x → Y िा प्रतिलोम फलन िभी सम्भव हैजब एिै िी आच्छादि फलन (one-one onto) हो, िब यहााँf -1 ,f िा प्रतिलोम फलन है। अब, समीिरण sinѲ = x पर ववचार िीजजए। इसिा अर्तयह हैकि किसी कदयेहुए िोण Ѳ िी ज्या (साइन) िा मान x है। दूसरेशब्दों मेंѲ, एि ऐसा िोण हैजजसिे ज्या (sine) िा मान x है। साांिे तिि रूप में, िोण Ѳ िो हम sin-1 x जलखिेहैंइस प्रिार, Ѳ = sin-1 x यकद sinѲ = x जहााँsin-1 x एि ऐसा िोण हैजजसिी ज्या (sine) िा मान x है। अर्ाति sin(sin-1 x) = x sin-1 x िो ज्या प्रतिलोम x पढ़िेहैं। उपययतक्त पररभाषा सेस्पष्ट हैकि, sin(sin-1 x) = x िर्ा sin-1 (sin Ѳ) = Ѳ क्योंकि sin Ѳ = x दोनों पक्षों िा sin-1 लेनेपर, sin-1 (sinѲ) = sin-1 x
(2) 02 प्रतिलोम त्रिकोणममिीय फलन sin-1 (sinѲ) = Ѳ, (∵ Ѳ = sin-1 x) ठीि इसी प्रिार cos-1 x, tan-1 x, cot-1 x, sec-1 x, cosec-1 x िो भी पररभाषषि किया जा सििा है। येसभी प्रतिलोम त्रििोणममिीय फलन है। अि: “वेसभी त्रििोणममिीय व्यांजि, जो किसी िोण िो उसिे मान िे रूप मेंव्यक्त िरिेहैं, प्रतिलोम त्रििोणममिीय फलन िहलािा है।" उदाहिणार्थ- यकद cos Ѳ = y िो Ѳ = cos-1y टिप्पणी – sin-1x िा अर्त(sinx)-1 नह ांहैक्योंकि (sinx)-1 िा अर्तएि राजश जजसिा मान 1 sin x अर्ाति्cosec x है, जबकि sin-1x िा अर्तएि िोण सेहैजजसिी ज्या (sine)x है। प्रतिलोम तिकोणममिीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Inverse Trigonometric Function) प्रतिलोम त्रििोणममिीय फलन ऐसा फलन होिा हैजजससेअनेि िोण प्राप्त होिेहैं। इन सभी िोणों मेंसेजो िोण सांख्यात्मि रूप में“सबसेछोटा" होिा है, उसेप्रतिलोम त्रििोणममिीय फलन िा "मयख्य मान" िहिेहैं। जैसे- "यकद दो िोण सांख्यात्मि रूप सेबराबर हों किन्तयउनिे धन मचन्ह वालेिोण िो मयख्य मान माना जािा है।"
(3) 02 प्रतिलोम त्रिकोणममिीय फलन इस प्रिार, इसी प्रिार, sec(±60°) = 2 अर्ाति्sec-1 (2) =±60° कफर भी sec-1 (2) िा मयख्य मान 60° है। तिकोणममिीय एवंप्रतिलोम तिकोणममिीय फलन के प्रान्त िर्ा परिसि या पिास (Trigonometric and Inverse Trigonometric Functions with their Domain and Range)
(4) 02 प्रतिलोम त्रिकोणममिीय फलन मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) किसी प्रतिलोम त्रििोणममिीय फलन िे वक्र िा वह भाग, जजस पर इस फलन िा मयख्य मान स्थिि होिा है, मयख्य मान शाखा िहलािा है। नीचेववमभन्न प्रतिलोम त्रििोणममिीय फलनों िी मयख्य मान शाखाएाँद गई हैं: