Title Chuyên đề 25. HÌNH CẦU.doc ✅

CHƯƠNG Chuyên đề 25. HÌNH CẦU A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình cầu • Khi quay nửa hình tròn (O; R) một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu tâm O, bán kính R. • Nửa đường tròn khi quay tạo nên mặt cầu. 2. Cắt hình cầu • Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì mặt cắt là một hình tròn; • Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn: - Có bán kính R (gọi là đường kính lớn) nếu mặt cắt đi qua tâm; - Có bán kính nhỏ hơn R nếu mặt cắt không đi qua tâm. 3. Diện tích mặt cầu 2 S4R hay 2Sd (R là bán kính; d là đường kính mặt cầu). 4. Thể tích hình cầu 34 VR 3 . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu các thể tích bằng 1332π cm 3 . Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu. Giải * Tìm hướng giải Để tính được hiệu diện tích của hai mặt cầu ta cần biết các bán kính của hai mặt cầu. * Trình bày lời giải Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r. Ta có R - r = 3 hay R = r + 3.  Thể tích hình cầu lớn là: 3 1 4 VR 3 . Thể tích hình cầu nhỏ là: 3 2 4 Vr 3 . Vì V 1 – V 2 = 1332π (cm 3 ) nên 33334Rr1332Rr999 3 . Do đó ( 332r3r999r3r1080 . Giải ra được r 1 = -12 (loại); r 2 = 9 (chọn). Vậy bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm. Diện tích mặt cầu lớn là: 2221S4R4..12576cm . Diện tích mặt cầu nhỏ là: 2222S4r4..9324cm . Hiệu các diện tích của hai mặt cầu là: 212SSS576324252cm . Ví dụ 2. Một hình cầu nội tiếp một hình nón bán kính đáy bằng 6cm và đường sinh bằng l0cm. Chứng minh rằng diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu. Giải Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OHBC, ODAB . Ta có 2222AHABBH1068cm . Gọi bán kính đáy hình nón là R, bán kính hình cầu là r. Ta có BH = BD = R = 6cm; OH = OD = r. AD = AB - BD= 10 - 6 = 4cm. AOD ABH g.g△△∽ ODAD BHAH Do đó r4r3cm 68 .
Diện tích đáy hình nón là: 2221SR.636cm . Diện tích mặt cầu là: 2222S4r4..336cm . Vậy diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Quay hình vẽ một vòng quanh đường kính AD cố định ta được hai hình nón nội tiếp một hình cầu. Biết AH = 24cm; DH = 6cm, hãy tính: a) Thể tích của hình cầu được tạo thành; b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy là hình tròn đường kính BC. Giải a) Tam giác ABC cân tại A, AD là đường kính nên ADBC . Ta có  ABD90 (vì AD là đường kính). Xét ∆ABD vuông tại B ta có: 2 BHHA.HD24.6144 . Suy ra BH = 12(cm).  Bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = (24 + 6): 2 = 15(cm). Thể tích của hình cầu tạo thành là: 333144VR.154500cm 33 . b) Thể tích của hình nón đỉnh A là: 223211Vrh.12.241152cm 33 Ví dụ 4. Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu bằng 2 3 thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu bằng 2 3 diện tích toàn phần hình trụ. Giải * Tìm hướng giải Cần tìm mối quan hệ giữa bán kính hình cầu với bán kính đáy hình trụ và chiều cao hình trụ. * Trình bày lời giải Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao của hình trụ là 2R. a) Thể tích hình cầu là: 3 1 4 VR 3 Thể tích hình trụ là: 23 2VRh2R Ta có: 3 1 3 2 4 R V2 3 V32R    b) Diện tích mặt cầu là: 2 1S4R . Diện tích hình trụ là: 22S2RhR2R2RR6.R . Ta có: 2 1 2 2 S4R2 S36R    Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AB = 24cm. Lấy điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về cùng một phía của AB ba nửa đường tròn đường kính AB, AC và BC. Quay toàn bộ hình vẽ một vòng quanh đường kính AB cố định ta được ba hình cầu. Tìm thể tích lớn nhất của phần không gian được giới hạn bởi ba hình cầu.  Giải * Tìm hướng giải Cần tìm mối quan hệ giữa các bán kính của ba nửa hình tròn, từ đó tìm được quan hệ giữa thể tích của ba hình cầu.
* Trình bày lời giải Đặt AC = 2x thì BC = 24 - 2x. Bán kính của nửa đường tròn đường kính AB là 12cm. Bán kính của nửa đường tròn đường kính AC là x. Bán kính của nửa đường tròn đường kính BC là 12 - x. Thể tích của ba hình cầu đường kính AB, AC và BC lần lượt là: 3344 .12;x 33 và 34.12x 3 Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là: 334V2304x12x 3  323242304x1728432x36xx230448x12x48 3 . 22maxVx12x48minx612 minx6 . Khi đó 3max V1728 cm khi AC = 12cm hay khi C là trung điểm của AB. C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích 1.1. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón. 1.2. Cắt hình cầu tâm O bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn tâm K, đường kính AB. Biết OK = 9cm và diện tích hình tròn tâm K bằng 16% diện tích mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu. 1.3. Người ta cắt một quả địa cầu cũ bằng một mặt phẳng theo một vĩ tuyến và được một phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo là 24cm và độ sâu nhất của chảo là 8cm. Tính diện tích bể mặt của quả địa cầu. • Tính thể tích 1.4. Một hình cầu nội tiếp một hình lập phương cạnh 12cm. Tính thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương. 1.5. Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.  1.6. Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm 2 . Tính thể tích hình cầu. 1.7. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg. Biết đường kính của thuyền là l,2m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? • Tính độ dài, tính tỉ số 1.8. Cho hình cầu tâm O, bán kính OA103 cm . Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với OA tại trung điểm M của OA ta được một đường tròn. Tính độ dài của đường tròn này. 1.9. Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng m 3 ) bằng số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m 2 ). Tính độ dài của đường tròn lớn. 1.10. Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước. Trong bình có một vật rắn hình cầu ngập hoàn toàn trong nước. Khi người ta lấy vật rắn đó ra khỏi bình thì mực nước trong bình giảm đi 48,6mm. Biết đường kính bên trong của đáy bình là 50mm, tính bán kính của vật hình cầu. 1.11. Vĩ độ của Thanh Hoá là 20° Bắc. Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hoá biết bán kính Trái Đất là 6370km. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 1.1. Vì mặt cắt chứa trục của hình nón là một tam giác đều nên nếu gọi bán kính đáy hình nón là R thì độ dài đường sinh là l = 2R và chiều cao của hình nón là 2R3 hR3 2 . Diện tích toàn phần của hình nón là: 2tpSRlRR2RR3R .
Diện tích mặt cầu là: 222SdR33R . Vậy diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón. 1.2. Xét ∆AOB cân tại O có KA = KB nên OKAB . Gọi R là bán kính hình cầu, r là bán kính hình tròn (K). Xét ∆KOA vuông tại K ta có: 2222 rROKR81 . Diện tích hình tròn (K) là: 221SrR81 . Diện tích mặt cầu là: 2 2S4R . Vì S 1 = 16%S 2 nên 2216. 10R814 0R Thu gọn phương trình này ta được 236R8100 . Suy ra 2R225 . Do đó diện tích mặt cầu là 22S4R900 cm . 1.3. Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O với AB là đường kính miệng chảo. Vẽ bán kính OCAB tại K. Ta có KA = KB = 24: 2 = 12 (cm). Gọi R là bán kính quả địa cầu. Xét ∆KOA vuông tại K ta có: 222222 22 OAOKAKRR812 RR16R6414416R208R13(cm)   Diện tích bề mặt quả địa cầu là: 222S4R4..13676 cm . 1.4. Vì độ dài cạnh của hình lập phương là 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp là 6cm. Thể tích hình lập phương là: 331V121728 cm . Thể tích của hình cầu là: 3324V.6288 cm 3 . Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là: 312VVV1728288824 cm . Nhận xét: Ta có 1 2 V288 V17286   . Tổng quát, ta có thể chứng minh được rằng nếu một hình cầu nội tiếp một hình lập phương thì tỉ số thể tích của chúng là 6  . 1.5. Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R. Diện tích xung quanh hình nón là: Rl12R . Diện tích mặt cầu là: 24R . Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên 212R4RR3cm .