Title Chuyên đề 20. ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ.doc ✅

CHƯƠNG Chuyên đề 20 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ A. Kiến thức cần nhớ Ptôlêmê là nhà khoa học cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ 2. Từ năm 127 đến năm 151 sau công nguyên, ông sống tại Alechxanđri (Ai Cập), nghiên cứu toán học, thiên văn học và địa lý. Ông là tác giả của thuyết hệ vũ trụ địa tâm; là mô hình cấu trúc vũ trụ đầu tiên, khẳng định một cách sai lầm rằng, các thiên thể chuyển động trên những vòng tròn có tâm là tâm trái đất nằm yên, là cơ sở cho thiên văn học trong một thòi gian dài cho đến thế kỷ 17, trước khi thuyết hệ nhật tâm của Kôpecnich ra đời. Công trình toán học của ông khá phong phú, sau đây là một định lý mang tên ông. Định lý. Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện. Giải Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Ta cần chứng minh: ...ABCDADBCACBD Giả sử DBCABD Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho MBCABD Suy ra ABM ∽ DBC Suy ra ABAM BDCD . . ABCDBDAM CBM ∽ DBA Suy ra BCCM BDAD ..ADBCBDCM Do đó ....ABCDADBCBDAMCMACBD B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn ;,OR đường kính AB có C là điểm chính giữa. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung BC. Chứng minh rằng: .2.AMBMCM Giải Tìm cách giải. Với CACB ta suy ra CACB và biểu diễn được qua bán kính R. Vì M là điểm bất kì thuộc cung BC, kết luận liên quan tới MA, MB, MC nên ta liên tưởng tới định lý Ptôlêmê. Trình bày lời giải Ta có , 90ACBCACB nên ABC vuông cân tại C 2 2 AB ACBCR Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABMC ta được: ... 2.2.2..2 ACBMABCMAMBC RBMRCMRAMAMBMCM  
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp và ...ABCDADBC Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:  .MABCAD Giải Tìm cách giải. MABCAD ABM ∽ ACD (vì đã có  )ABMACD Do vậy cần chứng tỏ cặp cạnh kề góc ấy tỉ lệ tức là ABAC MBDC Dựa vào giả thiết, tất yếu ta nghĩ tới vận dụng định lý Ptôlêmê. Trình bày lời giải Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABCD ta được: .. . ABCDADBCACBD Mà ..ABCDADBC nên: 2..2.ABAC ABCDACBM MBDC   Mặt khác ABMACD suy ra: ABM ∽ ACD (c.g.c) Vậy .MABCAD Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn sao cho 21.10.ABAC đạt giá trị lớn nhất. Giải Tìm cách giải. Nếu có điểm E trên cung nhỏ BC thì ta có: ....ABCEACBEBCAE Do vậy để xuất hiện 21.10.ABAC thì ta cần xác định điểm E sao cho 21.10..BECE tức là 10 .. 21BECE Với tỉ lệ như vậy chúng ta lại nghĩ tới đường phân giác góc BEC. Do vậy bản chất của bài là dựng được điểm E. Trình bày lời giải Gọi I là điểm thuộc cạnh BC sao cho 10 21 IB IC Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O). Gọi E là giao điểm thứ hai của DI với (O). Khi đó EI là phân giác của góc BEC Suy ra 10 21 EBIB ECIC10 .. 21EBEC Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABEC, ta có: ...ABCEACBEBCAE Suy ra: 10 .... 21ABCEACECBCAE 21 2110 ..BC ABACAE CE Do đó 2110ABAC đạt giá trị lớn nhất khi AE lớn nhất AE là đường kính của (O). Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có 2..ACAB Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC. Giải Tìm cách giải. Để chứng minh ,BDCD ta cần chứng minh .BDCD Như vậy dựa vào kết luận và giả thiết đều liên quan tới cạnh và tứ giác ABCD nên ta nghĩ tới việc vận dụng định lý Ptoleme. Tuy nhiên trong bài, tứ giác này có hai tiếp tuyến ở hai đỉnh đối diện (A và C) và đường chéo đồng quy thì luôn có ..CDBABCAD (bạn nên nhớ tính chất này để sử dụng). Trình bày lời giải
Ta có: PCD ∽ PBC nên CDPC BCPB và PAD ∽ PBA nên DAPA BAPB . Mặt khác PCPA nên CDDA BCBA Suy ra ..CDBABCAD (1) Áp dụng định lý Ptôlêmê ta có: ...CDBAADBCACBD (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2...CDABACBD Mặt khác: 2.ABAC nên .CDBD Vậy D là điềm chính giữa của cung BAC. C. Bài tập vận dụng 20.1. Chứng minh rằng nếu điểm P nằm trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD thì PAPCPD PBPDPC    20.2. Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q. Chứng minh rằng: 2222..pqabcd 20.3. Cho tam giác ABC không đều. Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng 90AIO khi và chỉ khi 2ABACBC 20.4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng: .. .. ACBCCDABBD BDBCBADCDA    20.5. Cho hai đường tròn 11;OR và 22;OR cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B 1(O và 2O nằm về hai phía của AB). Một cát tuyến d qua A cắt 1,O2O lần lượt tại các điểm C, D khác A (A thuộc đoạn CD). Tiếp tuyến tại C của 1O cắt tiếp tuyến tại D của 2O ở M. Tìm vị trí của d sao cho 12 MCMD RR đạt giá trị lớn nhất. 20.6. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng 90.OIA Chứng minh rằng IG song song với BC. 20.7. Cho tam giác ABC với BCCAAB nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho .BDBECA Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt cạnh AC tại điểm P đường thẳng BP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. a) Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD. b) Chứng minh rằng .BPAQCQ (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2011-2012) 20.8. Cho hình bình hành ABCD. Một đường tròn đi qua A cắt các đoạn thẳng AB, AC, AD lần lượt tại điểm P, Q, R khác A. Chứng minh rằng: ....ABAPADARAQAC 20.9. Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MABNAC và .MBANBC Chứng minh rằng: ... 1 . .. AMANBMBNCMCN ABACBABCCACB
HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ 20.1. Đặt độ dài cạnh hình vuông ABCD là a thì 2.ACBDa Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác PADC, ta có:  ... .2 1.   PDACPACDPCAD PDaaPAPC Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác PBCD, ta có: ...PCBDPBCDPDBC .2 2.PCaaPBPD Từ ( 1 ) và (2), suy ra: PB PAPCPD PCPD   20.2. Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác nội tiếp thì ta có: .acbdpq Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 22222222222acbdabcdpqabcd Suy ra: 2222 ..pqabcd Dấu bằng xảy ra khi: ab cd 20.3. Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Ta có: .BADDACDBDC Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên:     1 2 1 2 BIDIBABAIBA IBDIBCCBDBA   Suy ra DIB cân tại D nên .DIDB Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABDC nội tiếp:  ... .. ADBCABCDACBD BDABACDIABAC   Suy ra: ABAD IDBC AC  Do AOD cân tại O nên 90AIO 2.2.2 2 . ADABAC AIIDAIIDIDADID IDBC ABACBC   